Polinomio De Lagrange

INSTRUCCIONES

Resuelva detalladamente cada uno de los siguientes ejercicios y conteste las preguntas que se le hagan. En cada uno muestre la gráfica de interpolación.

E J E R C I C I O 1

Debido a que son 3 datos experimentales el polinomio de interpolación será de segundo grado:

P_2 (x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+y_3 L_3 (x)

S(v)=s_1 L_1 (v)+s_2 L_2 (v)+s_3 L_3 (v)

S(v)=0.10377L_1 (v)+0.11144L_2 (v)+0.12540L_3 (v)

Para el cálculo de los Lagrangianos se tiene:

L_1 (v)=((v-0.11144)(v-0.12540))/((0.10377-0.11144)(0.10377-0.12540))

L_2 (v)=(v-0.10377)(v-0.12540)/(0.11144-0.10377)(0.11144-0.12540)

L_3 (v)=(v-0.10377)(v-0.11144)/(0.12540-0.10377)(0.12540-0.11144)

Quedando el polinomio de la siguiente manera:

S(v)=-54.9823*V^2+28.8602*V+4.01194

La entropía para un volumen especifico de 0.108m^3/kg es de: 6.4875KJ/kg*K

La grafica del polinomio es:

Para la interpolación inversa se tiene que para el cálculo de los Lagrangianos:

L_1 (s)=((s-6.5453)(s-6.7664))/((6.4147-6.5453)(6.4147-6.7664))

L_2 (s)=(s-6.4147)(s-6.7664)/(6.5453-6.4147)(6.5453-6.7664)

L_3 (s)=(s-6.4147)(s-6.5453)/(6.7664-6.4147)(6.7664-6.5453)

Para que la interpolación quede de la siguiente forma:

v(s)=v_1 L_1 (s)+v_2 L_2 (s)+v_3 L_3 (s)

v(s)=6.4147L_1 (s)+6.5453L_2 (s)+6.7664L_3 (s)

Resolviendo el polinomio de interpolación inversa es:

v(s)=0 .1254e-1*S^2-0.1038*S+0.2535

El volumen a una entropía de 6.6 KJ/Kg*K es de 0.1148m^3/kg

La gráfica es:

Codificación

syms V

>> L1=expand((V-v(2))*(V-v(3))/((v(1)-v(2))*(v(1)-v(3))))

>> L2=expand((V-v(1))*(V-v(3))/((v(2)-v(1))*(v(2)-v(3))))

>> L3=expand((V-v(1))*(V-v(2))/((v(3)-v(1))*(v(3)-v(2))))

>> S=expand(s(1)*L1+s(2)*L2+s(3)*L3)

vpa(S)

ans =

-54.9825*V^2+28.8602*V+4.01194

>> plot(v,s,'b*');grid on

>> hold on

>> ezplot(S,[0.10,0.14])

>> subs(S,0.108)

ans = 6.48752587557312

Inciso b

syms S

>> L1=expand((S-s(2))*(S-s(3))/((s(1)-s(2))*(s(1)-s(3))))

>> L2=expand((S-s(1))*(S-s(3))/((s(2)-s(1))*(s(2)-s(3))))

>> L3=expand((S-s(1))*(S-s(2))/((s(3)-s(1))*(s(3)-s(2))))

>> V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3)

>> vpa (V)

ans =

.12538833835981495277529914782072e-1*S^2-.10377434317588136590849310029427*S+.25349862875734199617199467594177

>> plot(s,v,'r*');grid on

>> hold on

>> ezplot(V,[6.40,6.80])

>> title('Ejercicio 1');legend('Datos exxperimentales','Interpolación inversa')

subs(V,6.6)

ans = 0.1148

E J E R C I C I O 2

Solución:

Determine el polinomio de interpolación de LaGrange de 2° grado para la velocidad empleando únicamente los puntos rojos de la tabla.

*Como son tres datos N=3, por lo tanto el polinomio de LaGrange es de 2° grado.

Sabiendo que el polinomio de LaGrange tiene la forma:

P(x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+⋯+y_N L_N (x)

Como la velocidad está en función del tiempo, el polinomio queda:

v(t)=0.80L_1 (t)+3.09L_2 (t)+4.75L_3 (t)

Calculando los La granjéanos

L_1 (t)=(t-5)(t-13)/(1-5)(1-13) = L1 =

T^2/48 - (3*T)/8 + 65/48

L_2 (t)=(t-1)(t-13)/(5-1)(5-13) = L2 =

- T^2/32 + (7*T)/16 - 13/32

L_3 (t)=(t-1)(t-5)/(13-1)(13-5) = L3 =

T^2/96 - T/16 + 5/96

Polinomio Obtenido

V =- (73*T^2)/2400 + (151*T)/200 + 181/2400

Grafica

CÓDIGO EMPLEADO

%EJERCICIO 2 (a)

%Datos de t y v

t

v

%Guardando valores en una variable

syms T

%Calculando los Granjéanos

L1=expand((T-t(2))*(T-t(3))/((t(1)-t(2))*(t(1)-t(3))))

L2=expand((T-t(1))*(T-t(3))/((t(2)-t(1))*(t(2)-t(3))))

L3=expand((T-t(1))*(T-t(2))/((t(3)-t(1))*(t(3)-t(2))))

%Colocando los datos en el polinomio

V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3)

%Graficando la función

plot(t,v,'r*');grid on

%Graficando la función con el polinomio obtenido

hold on

ezplot(V,[0,14]);grid on

ylabel ('v(m/s)')

xlabel('t(s)')

Calcule el polinomio de interpolación de LaGrange empleando todos los puntos.

*Son cinco datos N=5, por lo tanto el polinomio de LaGrange es de 4° grado.

Sabiendo que el polinomio de LaGrange tiene la forma:

P(x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+⋯+y_N L_N (x)

Como la velocidad está en función del tiempo, el polinomio queda:

v(t)=0.80L_1 (t)+2.31L_2 (t)+3.09L_3 (t)+3.94L_4 (t)+4.75L_5 (t)

Calculando los La granjéanos

L_1 (t)=(t-3)(t-5)(t-7)(t-13)/(1-3)(1-5)(1-7)(1-13) = L1 =

T^4/576 - (7*T^3)/144 + (133*T^2)/288 - (257*T)/144 + 455/192

L_2 (t)=(t-1)(t-5)(t-7)(t-13)/(3-1)(3-5)(3-7)(3-13) = L2 =

- T^4/160 + (13*T^3)/80 - (27*T^2)/20 + (323*T)/80 - 91/32

L_3 (t)=(t-1)(t-3)(t-7)(t-13)/(5-1)(5-3)(5-7)(5-13) = L3 =

T^4/128 - (3*T^3)/16 + (87*T^2)/64 - (53*T)/16 + 273/128

L_4 (t)=(t-1)(t-3)(t-5)(t-13)/(7-1)(7-3)(7-5)(7-13) = L4 =

- T^4/288 + (11*T^3)/144 - (35*T^2)/72 + (157*T)/144 - 65/96

L_5 (t)=(t-1)(t-3)(t-5)(t-7)/(13-1)(13-3)(13-5)(13-7) = L5 =

T^4/5760 - T^3/360 + (43*T^2)/2880 - (11*T)/360 + 7/384

Polinomio Obtenido

V = - (127*T^4)/72000 + (101*T^3)/2250 - (7073*T^2)/18000 + (4081*T)/2250 - 3187/48

Grafica

CÓDIGO EMPLEADO

%EJERCICIO 2 (b)

%Datos de t y v

t

v

%Guardando valores en una variable

syms T

%Calculando los Granjéanos

L1=expand((T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(1)-t(2))*(t(1)-t(3))*(t(1)-t(4))*(t(1)-t(5))))

L2=expand((T-t(1))*(T-t(3))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(2)-t(1))*(t(2)-t(3))*(t(2)-t(4))*(t(2)-t(5))))

L3=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(4))*(T-t(5))/((t(3)-t(1))*(t(3)-t(2))*(t(3)-t(4))*(t(3)-t(5))))

L4=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(5))/((t(4)-t(1))*(t(4)-t(2))*(t(4)-t(3))*(t(4)-t(5))))

L5=expand((T-t(1))*(T-t(2))*(T-t(3))*(T-t(4))/((t(5)-t(1))*(t(5)-t(2))*(t(5)-t(3))*(t(5)-t(4))))

%Colocando los datos en el polinomio

V=expand(v(1)*L1+v(2)*L2+v(3)*L3+v(4)*L4+v(5)*L5)

%Graficando la función

plot(t,v,'r*');grid on

%Graficando la función con el polinomio obtenido

hold on

ezplot(V,[0,14]);grid on

ylabel ('v(m/s)')

xlabel('t(s)')

Cuál de los dos es el mejor?, ¿Por qué?

Respuesta

El mejor es el resuelto por el inciso a, ya que nos dan un intervalo de ciertos puntos, prácticamente, el inicio, el del medio y el final. De acuerdo con el polinomio de LaGrange, entre menos puntos se tenga es mejor, minimizando el error.

Cuando las abscisas de los datos tienen un espaciamiento uniforme, la amplitud de la oscilación del error de la interpolación tiende a ser más pequeño en el centro o cerca de él. La amplitud de oscilación aumenta hacia los extremos.

Como se observa en la gráfica del inciso hay fluidez la línea que pasa por los puntos, mientras tanto la gráfica del inciso b la línea tiene una deformación (forzándola a que pase por el punto final) aumentando el error.

E J E R C I C I O 3

Solución

*Son cinco datos N=5, por lo tanto el polinomio de LaGrange es de 4° grado.

Sabiendo que el polinomio de LaGrange tiene la forma:

P(x)=y_1 L_1 (x)+y_2 L_2 (x)+⋯+y_N L_N (x)

El volumen específico de vapor está en función de la temperatura, el polinomio queda:

v(T)=5.9312L_1 (T)+7.5838L_2 (T)+8.8428L_3 (T)+9.796L_4 (T)+10.5311L_5 (T)

Calculando los La granjéanos

L_1 (T)=(T-382)(T-394)(T-406)(T-418)/(370-382)(370-394)(370-406)(370-418) L1 =

(134217728*T^4)/701190670772287 - (403726925824*T^3)/701190670772287 + (2276237103857664*T^2)/3505953353861435 - (1140368689590173696*T)/3505953353861435 + 26771008685397782822912/438244169232679375

L_2 (T)=(T-370)(T-394)(T-406)(T-418)/(382-370)(382-394)(382-406)(382-418) L2 =

- (4294967296*T^4)/5609525366178289 + (64132451663872*T^3)/28047626830891445 - (358890490910736384*T^2)/140238134154457225 + (38785120181279522816*T)/30486550903142875 -

...