Polinomios

NOMBRE:

MIGUEL A MEDINA

MATERIA :

MATEMATICAS IV

ESCUELA:

COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES

PLANTEL VALLEJO

MATEMATICAS IV.

Temario.

1) Funciones polinomiales

2) Funciones racionales y con radicales

3) Funciones trigonometricas

4) Funciones exponenciales y logaritmos

Libros recomendados.

1) Algebra y trigonometría (swokoski)

2) Precalculo(James stwart)

UNIDAD I : FUNCIONES POLINOMIALES.

Definición.

Una funcion es una regla que asigna a cada elementote un conjunto un (dominio )uno solamente y solo un elemento de otro conjunto (rango).

Ejemplos:

1) (x) = 5

Dominio de: Df = ”x”

Df = ( - ,  )

Rango de: Rf = X

Rf = ( 0 , 5 )

ejemplo2:

( x) = 3x+1----------y = mx + b 3=3/1

Df = ?

Rf = ?

Nota 1. b es la coordenada de origen

Nota 2. mx es la pendiente

Nota3. el numerador y el denominador es x

La Grafica es:

Solución.

Df =( - ,  )

Rf = ( - ,  )

X = ?

(x) = 0

3x+1 = 0

x = -3/1

nota 1. Los ceros de la función se sacan igualando a cero la ecuación

ejemplo3: (x)= x2+2x

a) Df = ?

b) Rf = ?

c) grafica

Nota1:la ecuación de segundo grado es por formula general o factorización

Nota 2:la ecuación lineal se iguala a cero y se despeja x.

Nota 3:cuando la ecuación es cuadrática siempre resulta una parábola como recta.

Solución:

d) x+2x= 0 Df = ( - ,  ) = 

x(x+2) = 0

x = 0

x + 2 = 0

x = -2

Nota 1. Los ceros de la funcion se sacaron igualando a cero

Nota 2. El rango empieza desde el inicio de la grafica hasta donde termina

Rf = (-1 ,  )

nota 3: el vértice se saca con la sig. formula:

V = (-b/2a ; f = – b/2a)

Solucion.

V = (-b/2a ; f – b/2a)

V = ( -2/2(1),f -2/2(1) )

V = ( -1 , f(-1) )  V = ( -1,-1 )

4. Sea (x) = x2-3x+2

Solución. :x2 -3x+2=

encuentre:

a) Df = 

b) Rf = ( -1/4 ,  )

c) grafica

d) raíces

( x-2 ) ( x-1 ) = 0

x-2 = 0 x = 2

x-1 = 0 x = 1

V ( -b/2a , f -b/2a )

V ( 3/2(1) ,f 3/2(1) )

V ( 3/2 , -1/4 )

F ( 3/2 ) = ( 3/2 ) -3(3/2)+2=9/4-18/4+8/4=-1/4)

V ( 3/2,-1/4 )

5) Sea (x) = x2 +x-2

a) Df = 

b) Rf = ( -9/4 ,  )

c) grafica

d) raices

( x-1 ) ( x+2 )

x-1 = 0 x = 1

x+2 = 0 x = -2

d/dv = x2 +x - 2= 0  d/dv = 2x + x =0

d/dv = 2x + 1 =0  d/dv = x = -1/2

sustituyendo x en la funcion tenemos:

(x) = (-1/2)2 + (-1/2) – 2 = -9/4

(x) = C

c

x

y

Df = 

Rf = c

(x) = x

Df = 

Rf = 

(x) = x2

Df = 

Rf = ( 0 ,  )

(x) = x3

(x) = x4

Df = 

Rf = ( 0 ,  )

Nota. La grafica de x2 y x4 son muy parecidas con la diferencia de que la de x4 cierra mas rápido

(x) = x2n-1

(x) = x – 2 & (x) = x + 1

(x) = x2 + 1

(x) = -x2 - 1

(x) = (x – 1)

1. (x) = 2x – 5

Df = 

Rf = 

2x – 5 =0

x= 5/2

2. (x) = 5x + 2

Df = 

Rf = 

5x + 2 =0

x= -2/5

3. (x) = x2 - 4

Df = 

Rf = ( -4 ,  )

raices

(x+2) (x-2) = 0

x+2 = 0  x = -2

x-2 = 0  x = 2

4. (x) = -x2 + 1

Df = 

Rf = ( - , 1 )

raices

(x+1) (x-1) = 0

x+1 = 0  x = -1

x-1 = 0  x = 1

5. (x) = 3x + 7

Df = 

Rf = 

3x + 7 =0

x= -7/3

FACTORIZACION

P(x) = a0+ a1x+ a2x2+ a3x3+……+ anxn

1. P(x) = 2+ 4x + x2

La grafica

Df = 

Rf = (-2 , )

Raices

P(x) = x2 + 4x + 2 = 0  (x+2)2 – 2 = 0

(x+2)2 = 2  x+2 = 2  x = -2 2 

x1 = -3.4142 & x2 = -.585

2. P(x) = (x-1)2

3. P(x) = -(x-1)2

4. P(x) = x2 + 2x

5. P(x) = x3 -2 = x3 – ( 32)3

a3 – b3 = ( a – b ) (a2 + ab + b2 ) = (x - 32 (x2 + 32 (32)2 ) )

-b b2 –4ac/2a  -1.25-4.56/2 = 

6. P(x) = x (x-1) (x+2)

x(x-1) (x+2) =0  x = 0, x = 1, x = -2

Df = 

Rf = 

7. x3 + 4x2 + 3x

x ( x2+ 4x +3) = 0  x (x+3) (x+1) = 0

x = 0, x = -3, x = -1

Df = 

Rf = 

8. P(x) = 3x + 4

Df = 

Rf = 

3x + 4 =0

x= -4/3

(x) = 3 (4 – x)

Df = 

Rf = 

3 (4 – x) =0

12 - 3x

F(X)=3(4 -X)

12-3X=0 12

=12-3X

=-3X+12 -

DF=TR 8

RF=TR

4

P(X)=X2+4X+5

X2+4X+4+1

=(X+2)2+1

DF=TR

RF=(1,-&) 1

CEROS REALES NO HAY

NOTA: PARA ENCONTRAR

AL VÉRTICE SE UTILIZA

COMPLETACION

CEROS COMPLEJOS

P(X)=0

X2+4X+5=0

A=1

B=4

C=5 x=-2+-i

X=-b+- b2-4ac

2a x1=-2+-i

x=-4+- (4)2-4(1) (5)

2(1) x2=-2-i

-4+- 16-20 nota: la parte a+bi la i es imaginaria y la a es la parte real

2 nota:los ceros complejos no se sacan con formula y general

=-4+-2

...