Polinomios

INTERPOLACION DE HERMITE

En determinadas aplicaciones para aumentar la aproximación en una serie de puntos es necesario trabajar con métodos de interpolación que se desarrollen con datos prescritos de la función y sus derivadas, aumentando el número de ecuaciones del sistema que determina los parámetros del polinomio interpolante; uno de estos métodos es el de Hermite.

Este Consiste en buscar un polinomio por pedazos H_n (x) que sea cúbico en cada sub-intervalo [x_((i-1)),x_i ],1≤i≤n y que cumpla f'(x) en los puntos {x_0,……x_n }, donde f(x) es la función que se quiere interpolar. La función H_n (x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de ecuaciones de tamaño 4x4 cada uno.

La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los {f'(x_i),0≤i≤n} lo cual no es el caso en muchas aplicaciones.

Teorema

Sean {x_0,……x_n }; (n+1) puntos distintos de R: Sean {w_0,……w_(2n+1) }; (2n+2) valores reales arbitrarios. Entonces existe un único polinomio P(x) de grado ≤2n+1 tal que:

〖P(x〗_i)=w_i,∀_i=0,1…….,n,

〖P'(x〗_(i-(n+1)))=w_i,∀_i=n+1,…….,2n+1.

Para demostrar basta tomar en el teorema de Existencia y unicidad de solución del Problema General de Interpolación (P.G.I):

L=P_(2n+1) (R), N=2n+2

F_i:p∈P_(2n+1) (R)→F_i (p)=〖p(x〗_i)∈R,i=0,….,n,

F_i:p∈P_(2n+1) (R)→F_i (p)=〖p'(x〗_(i-(n+1) ))∈R,

i=n+1,…..,2n+1

Al polinomio P(x) se le llama “Polinomio de interpolación de Hermite”

La base dual, que denominaremos {h_0,….,h_(2n+1) }, viene dada por:

h_i (x)=l_i^2 (x)[1-(π^'' (x_i ))/(π^' (x_i ) ) (x-x_i )], i=0,….,n

h_i (x)=(x-x_(i-(n+1) ) ) l_(i-(n+1))^2 (x), i=n+1,…,2n+1

Donde:

π(x)=(x-x_0 )(x-x_1 )…(x-x_n)

Entonces:

P(x)=∑_(i=0)^(2n+1)▒w_i h_i (x)

Interpolación Polinomial de Newton en diferencias divididas

Teoría

En este tema se da una posible respuesta a una situación bastante natural en el ámbito científico. Investigamos un fenómeno que se está desarrollando ante nuestros ojos, queremos estudiarlo, y junto con los modelos previos con que contemos, podemos tomar muestras experimentales.

Tenemos una serie de datos a partir de mediciones sobre el mismo. [Naturalmente hemos hecho una cantidad finita de mediciones.] Queremos extraer información de esos datos.

En ocasiones se plantea el problema de que se conoce una tabla de valores de una función desconocida o difícil de manejar, y nos interesaría sustituirla por otra más sencilla (por ejemplo, un polinomio) que verifique la tabla de valores. Este es el problema de interpolación polinomial. Existe una gran variedad de formas alternativas para expresar una interpolación polinomial. El polinomio de interpolación de Newton en diferencias divididas es entre otros una de las formas más populares y útiles. Este método es muy algorítmico y resulta sumamente cómodo en determinados casos, sobre todo cuando se quiere calcular un polinomio interpolador de grado elevado.

Interpolación lineal

La forma más simple de interpolación se basa en unir dos puntos con una línea recta. Dicha técnica se conoce como interpolación lineal.

Al usar triángulos semejantes:

(f_1 (x)- f (x_0))/(x- x_0 )=(f(x_1 )-f(x_0))/(x_(1 )- x_0 )

[1]

Reordenando la ecuación se obtiene:

f_1 (x)=f(x_0)+(f(x_1 )-f(x_0))/(x_(1 )- x_0 ) (x- x_(0))

[2]

En la imagen de arriba se muestra la gráfica de la interpolación lineal. Las áreas en verde indican los triángulos semejantes para obtener la fórmula de la interpolación lineal.

En general cuando menor sea el intervalo entre los datos, mejor será la aproximación. Esto se debe al hecho de que, conforme el intervalo disminuye, una función continua estará mejor aproximada por una línea recta.

Interpolación cuadrática

Una estrategia que mejora la aproximación es la introducir cierta curvatura en la línea que conecta a los puntos. Si se dispone de tres datos, lo anterior se puede llevar a cabo con un polinomio de segundo orden (llamado también polinomio cuadrático o parábola). Una manera conveniente para este caso es:

f_2 (x)=b_0+ b_1 (x-x_0 )+ b_1 (x-x_0 )+ b_2 (x-x_0 )(x-x_1 )

[3]

Nótese que aunque la ecuación [1] parezca diferente de la ecuación general de un polinomio:

f(x)= a_0+a_1 x+a_2 x^2+⋯+ a_n x^n

[4]

Las dos ecuaciones son equivalentes. Se puede usar un procedimiento simple para determinar los valores de los coeficientes. Se usa la ecuación [3] con x=x_0 y se obtiene.

b_0=〖f(x〗_0)

[5]

Sustituyendo la ecuación [6] y [4] y evaluando en n x=x_1 se obtiene

b_1=(f(x_1 )-f(x_0))/(x_(1 )- x_0 )

[6]

Y por último las ecuaciones [6] y [5] se sustituyen en la ecuación [3] y se evalúa está en x=x_2 y se obtiene:

b_2=((f(x_2 )-f(x_1))/(x_(2 )- x_1 )-(f(x_1 )-f(x_0))/(x_(1 )- x_0 ))/(x_(2 )- x_0 )

[7]

Nótese que, al igual que en el caso de interpolación lineal, b1 aun representa la pendiente de la línea que une los puntos X0 y X1. Por lo tanto, los primeros dos términos de la ecuación [3] son equivalentes a la interpolación de X0 a X1. El ultimo termino b2(X-X0) (X-X1), introduce la curvatura de segundo orden de la formula.

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