Posiciones

Proposición 11

Trazar una línea recta que forme ángulos restos con una recta dada, desde un punto dado en ella.

Sea EF la recta dada y sea C el punto en ella. Así pues, hay que trazar una línea recta que forme ángulos rectos con la recta EF desde el punto C.

Tómese un punto a al azar A sobre la recta EC y hágase BF igual a AC y constrúyase sobre AB el triángulo equilátero DAB y trácese DC.

Digo que ha sido trazada la línea recta DC que forma ángulos rectos con la recta AB desde el C dado en dado en ella

Pues como AC es igual a CB y CD es común, los dos lados AC, CD son iguales respectivamente a los dos lados CB, CD y la base AD es igual a la base DB, por lo tanto el ángulo ACD es igual al ángulo BCD y son ángulos iguales adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos ACD Y DCB es recto.

por consiguiente ha sido trazada la línea recta DC que forma ángulos rectos con la recta dada AB, desde el punto C dada en ella.

Proposición 12

Trazar una línea recta perpendicular a una infinita dada desde un punto que no este en ella.

Sea AB la recta infinita dará y R el punto dado que no está en ella.

Así pues hay que trazar una línea resta perpendicular a la recta infinita dada AB desde el punto dado R que no están en ella

Tómese pues al azar un punto D al otro lado de la recta AB y con el centro R y la distancia RD descríbase el círculo EHZ y divídase en dos partes iguales la recta EH en la O y trácense las rectas RH, RO, RE.

Digo que ha sido trazada la recta RO perpendicular a la recta infinita dada AB desde el punto R que no está en ella.

Pues como HO es igual a OE y OR es común, los dos lados HO, OR son iguales respectivamente a los lados EO, OR y la base RH es igual a la base RE por lo tanto el ángulo ROH es igual al ángulo EOR y son adyacentes. Ahora bien cuando una recta levada sobre otra recta hace ángulos adyacentes iguales entre si cada uno de los ángulos iguales es recto y la recta que se ha levantado se llama perpendicular a aquella sobre la que está por consiguiente, se ha trazado la recta RO perpendicular a la recta infinita dada AB desde el punto dado R que no está en ella.

Proposición 13

Si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, o bien formara dos rectos o bien ángulos iguales a dos rectos.

Así pues forme una recta cualquiera AB levantada sobre la RD los ángulos RBA, RBD.

Digo que los ángulos RBA, RBD son o bien dos o iguales a dos rectos

En efecto si RBA es igual ABD son dos rectos. Pero si no, trácese desde el punto B la recta BE que forme ángulos restos con RD entonces los ángulos RBE, EBD son dos recto y dado que el ángulo RBE es igual a los dos ángulos RBA, are añádase al uno y a los otros el ángulo EBD entonces los ángulos RBE, EBD SON IGUALES A LOS TRES ANGULOS RBA, AHE ,EBD. Como el ángulo ABD es igual a su vez a los ángulos DBE,FBA AÑADESE AL UNO y a los otros el ángulo ABR entonces los ángulos ABD,ABR SON IGUALES A LOS tres ángulos RBE,EBD SON IGUALES a esos mismo tres ahora bien las cosas iguales a esos mismos tres ahora bien las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entres si por tanto . Los ángulos RBE,EBA SON DOS rectos por tanto los ángulos DBA, ABR son también iguales a dos recto por consiguiente si una recta levantada sobre otra recta forma ángulos, formara o bien dos rectos o bien ángulos iguales a dos rectos.

Proposición 14

Si dos rectas forman con una recta cuallquiera y en un punto de ella angulos adyacentes iguales a dos rectos y no estan en el mismo lado de ella ambas rectas estaran en linea recta

asi pues sean dos resta BR,BD que con una recta cualquiera AB y en un punto de ella B sin estar colocadas en el mismo lado de la recta AB formen dos angulos adyacentes ABR, ABD iguales a dos rectos

digo que BD esta en linea recta con RB

pues asi BA no esta en linea resta con BR este BE EN LINEA RECTA CON RB

asi pues dado que la recta AB HA SIDO LEVANTADA sobre la recta RBE entonces los angulos ABR, ABE SON iguales a dos rectos pero tambienlos angulos ABR,ABD son iguales a dos rectos por tanto los angulos RBA,ABE son iguales a los angulos RBA, ABD quitese de ambos el angulo comun RBA luego el angulo restante ABE es igual al angulo restante ABD el menor al mayor lo cual es imposible por tanto BE no esta en linea recta con RB. y de modo semejante demostrariamos esto de cualquier otra que no sea la recta BD por tanto RB esta en linea resta con BD.

por consiguiente si dos rectas forman con una recta cualquiera en un punto de ella angulos adyacentes iguales a dos rectos y no estan en el lado de ella ambas restas esta en linea recta

Proposición 15

Si dos segmentos se cortan entre sí, los ángulos opuestos por el vértice son iguales.

Hipótesis: Sean AB y CD los segmentos que se cortan en el punto E. Formándose dos pares de ángulos que son opuestos por el vértice, a saber, Angulo (CEA) y (DEB), así como Angulos (AED ) y (BEC)

Demostración.

Sabemos que los segmentos AB y CD, se cortan en el punto E.

P1.

Como el segmento AE se levanta sobre el segmento CD, según la Proposición I.13, se forman los ángulos adyacentes (CEA) y (AED), tales que los ángulos (CEA) + (AED) =180°.

P2.

Nuevamente, como el segmento DE se levanta sobre AB, por la Proposición I.13, se forman los ángulos adyacentes (AED) y (DEB), tales que los ángulos (AED) + (DEB)= 180.

P3.

Por lo tanto, por el Postulado 4 y la Noción común 1, podemos igualar (1) y (2) , obtenemos: Angulos (CEA)+(AED) = Angulos (AED) + (DEB).

P4.

Por la Noción común 3, sustrayendo de ambos lados de la igualdad (3), el ángulo (AED), tenemos que Angulos (CEA) = (DEB).

P5.De manera análoga, podemos demostrar que Angulos (BEC) = (AED).

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