Probabilidad Actividad Numero 13

Explicación del tema 13

Probabilidad y estadística

Tema 13. Inferencia en una población

13.1 ¿Qué es una hipótesis?

Una hipótesis es un enunciado acerca del valor de un parámetro poblacional. La razón para establecer una hipótesis es que la población de interés es tan grande que por diversas razones, sería prácticamente imposible estudiar todos los elementos de la población.

Ejemplos de este tipo de hipótesis o enunciados acerca de un parámetro poblacional:

• El ingreso mensual medio para los ciudadanos jubilados es de $9,930 pesos.

• Se sabe que el 20% de los delincuentes juveniles finalmente son arrestados, se les sentencia y encarcela.

• El diámetro exterior medio de los cojines de bolas producidos durante una jornada laboral es de 1.000 pulgadas.

• En general, el 90% de las formas de impuesto federal de ingresos se llenan correctamente.

• Las resistencias al impacto de los parabrisas que producen dos empresas industriales son iguales.

Una alternativa para estudiar o entrevistar a la población completa es tomar una muestra de la población de interés. Dada esta premisa de la estimación estadística, es posible entonces probar una afirmación o una hipótesis, a fin de determinar si la evidencia empírica de la población fundamenta o no la afirmación.

Prueba de hipótesis

Supongamos que se afirma que la comisión mensual media de los vendedores de una empresa de computadoras es de $ 20,000 pesos. Dado que no es posible entrevistar a todos los vendedores para establecer que la media es en realidad $ 20,000 pesos, se debe seleccionar una muestra de vendedores de computadoras, calcular estadísticas muestrales y, con base en determinadas reglas de decisión, aceptar o rechazar la afirmación o hipótesis.

La prueba de hipótesis es un procedimiento basado en la evidencia muestral y en la teoría de probabilidad que se emplea para determinar si la hipótesis es un enunciado es razonable y no debe rechazarse o si es irrazonable y debe ser rechazada.

13.2 Procedimiento de pruebas

Existe un procedimiento de cinco pasos que sistematiza la prueba de hipótesis; al llegar al quinto paso se está en la capacidad de tomar la decisión, rechazar o no una hipótesis:

Paso 1: La hipótesis nula y la hipótesis alternativa

El primer paso es plantear la hipótesis que se probará, denominada hipótesis nula o .

En términos generales, la hipótesis nula se plantea con el objetivo de aceptarla o rechazarla. En otras palabras, es una afirmación que se aceptará si los datos muestrales no pueden proporcionar evidencia convincente de que la afirmación es falsa.

Es necesario subrayar que si la hipótesis nula se acepta con base en datos muestrales, en realidad señala que la evidencia no permite rechazarla; sin embargo, no es posible afirmar que la hipótesis nula es verdadera.

Para la pregunta, ¿es la resistencia media al impacto de la placa de vidrio que se fabrica en la línea de producción B de 70 psi (libra por pulgada cuadrada)?, la hipótesis nula sería: la resistencia al impacto del vidrio no es significativamente diferente de 70 psi.

Matemáticamente:

La hipótesis alternativa describe lo que se considerará si se rechaza la hipótesis nula. A menudo se denomina también como hipótesis de investigación. Para la pregunta, ¿es la resistencia media al impacto de la placa de vidrio que se fabrica en la línea de producción B de 70 psi (libra por pulgada cuadrada)?, la hipótesis alternativa sería: la resistencia al impacto del vidrio es diferente de 70 psi.

Matemáticamente:

Paso 2: Nivel de significación.

Después de plantear la hipótesis nula y la hipótesis alternativa, el siguiente paso es definir el nivel de significación, o bien la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

No hay un nivel de significación que se aplique a todos los estudios que implican muestreo. Debe tomarse una decisión de usar el nivel 0.05 (que a menudo se enuncia como nivel de 5%), el 0.01, el 0.10 o cualquier nivel entre 0 y 1.

Al realizar una prueba de hipótesis, además del riesgo de rechazar la hipótesis cuando en realidad debe aceptarse, corremos riesgos de aceptar una hipótesis cuando en realidad debe rechazarse.

Error Tipo I ( ): La probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es verdadera.

Error Tipo II ( ): La probabilidad de aceptar la hipótesis nula cuando en realidad es falsa.

Ejemplo:

A fin de ilustrar cómo es posible rechazar una hipótesis verdadera, supongamos que una compañía manufactura computadoras personales y utiliza un gran número de tableros con circuitos impresos. Los proveedores ofrecen precios de diversos tableros, y al que presente la oferta más baja se le otorga un contrato. En el contrato se especifica que el departamento de calidad muestreará todos los envíos, y si más del 6% tiene defectos, se rechazará el envío.

Una muestra de 50 circuitos reveló que 4 tableros (u 8%) tenían defectos. El embarque se rechazó porque excedía el máximo de 6% de tableros defectuosos. Si la remesa era en realidad defectuosa fue correcta la decisión de devolver los productos al proveedor. Sin embargo, supongamos que los 4 tableros defectuosos que se seleccionaron en la muestra de 50 eran los únicos tableros defectuosos en el envío de 4,000 tableros. En este caso, sólo el 0.1% eran defectuosos (menos del 6%) y fue un error rechazar la remesa. Es decir, el fabricante de computadoras cometió un error tipo I.

En la siguiente tabla se resumen las decisiones y sus consecuencias:

Hipótesis nula Acepta Rechaza

Si es verdadera Decisión correcta Error tipo I

Si es falsa Error tipo II Decisión correcta

Paso 3: El estadístico de prueba.

Un estadístico de prueba es un valor determinado a partir de la información muestral que se utiliza para aceptar o rechazar la hipótesis nula.

Existen muchos estadísticos de prueba, entre los que se encuentran los estadísticos z (normal estándar), (t-student) y (Chi-cuadrada).

Paso 4: La regla de decisión.

Una regla de decisión simplemente es una afirmación de las condiciones bajo las que se acepta o rechaza la hipótesis nula. Para lograr esto, la distribución muestral se divide en dos partes denominadas región de aceptación y región de rechazo.

El área de rechazo define la ubicación de todos los valores posibles que son demasiado grandes o demasiado pequeños, por lo que la probabilidad de que ocurran según una hipótesis nula verdadera es muy remota.

Fig. 13.1: Regiones de aceptación y de rechazo para un estadístico z con un nivel de significación del 5%.

De la figura 13.1, observamos que:

• El área o región de aceptación está el área a la izquierda de 1.645.

• El área o región de rechazo está a la derecha de 1.645.

De acuerdo a la tabla normal estándar para un nivel de significación de 0.05, buscamos aquel valor de z cuyo punto es 0.4500 (0.5 + 0.45 = 0.95):

z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

1.5 0.4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406

1.6 0.4452 0.4463 0.4474 0.4485 0.4495 0.4505 0.4515

1.7 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608

1.8 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686

1.9 0.4713 0.4719 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750

Dado que el valor 0.4500 está entre 1.64 y 1.65, se utiliza un valor de Z de 1.645.

• Se aplica una prueba de una cola (esto se explicará más adelante).

• Se eligió un nivel de significación de 0.95.

• La distribución muestral pertenece al estadístico (normal estándar).

• El valor 1.645 separa las regiones de aceptación y rechazo.

• El valor 1.645 se denomina valor crítico.

Paso 5: Toma de decisión

El quinto y último paso en la prueba de hipótesis es decidir si se acepta o rechaza la hipótesis nula. Respecto al diagrama 13.1, si con base en la información muestral se calcula que z es de 2.34 a través del estadístico de prueba, la hipótesis nula se rechaza en el nivel de significación de 5%, pues el 2.34 se encuentra a la derecha de 1.645; es decir, se encuentra en la región de rechazo. Lo anterior significa que la hipótesis nula se rechaza debido a que es muy improbable que un valor de z tan grande se deba al azar; esto es, a una variación muestral.

Si el valor calculado de z hubiera sido 1.645 o menor-por ejemplo, 0.71-, la hipótesis nula sería aceptada. Se razonaría que un valor calculado de z tan pequeño podría ser atribuido al azar; esto es, a una variación en el muestreo.

13.3 Pruebas de significación de una y dos colas

En el diagrama 13.1 se aplica una prueba de una cola o extremo; es decir, la región de rechazo está en una de las extremidades de la curva. Una forma de determinar la ubicación de rechazo es observar la dirección en que apunta el signo de desigualdad en la hipótesis alternativa (ya sea < o bien >).

Ejemplo: Las empresas desean que el rendimiento de un neumático sea de 40,000 kilómetros en condiciones normales de uso, por lo que se rechaza un envío si en una prueba acelerada de duración revela que la vida de los neumáticos está significativamente por debajo de 40,000 kilómetros.

En este caso, la hipótesis nula y alternativa sería:

Matemáticamente:

En este caso, dado que el signo < apunta

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