Probabilidad Condicionada

1. Se lanzan 20 monedas en las que la probabilidad de cara es de 0,6. Calcular cual es el

número mas probable de caras y qué probabilidad hay de que salga dicho número.

SOLUCIÓN:

El número de caras obtenido al lanzar 20 monedas es una variable aleatoria con distribución

binomial de parámetros B(20;0,6). El número mas probable de caras es

20 ⋅ 0,6 − 0,4 ≤ m ≤ 20 ⋅ 0,6 + 0,6⇒11,6 ≤ m ≤ 12,6 . Luego el número mas probable de

caras es 12, y la probabilidad de 12 caras es:

0,0022 0,0007 0,0202

12!8!

0,6 0,4 20!

12

( 12) 20 12 8 ⋅ ⋅ =

⋅

= ⋅ ⋅ 







P X = = 

2. Sabiendo que P(AIB) = 0,6)y que la de la P(AIB =0,2), se pide calcular la

probabilidad de A.

SOLUCIÓN:

P(A)= P[(AIB)U(AIB )]= P(AIB) + P(AIB )=0,6+0,2=0,8

3. Supongamos que las cotizaciones de las acciones de Telefónica y Sniace son variables

aleatorias independientes, y que la probabilidad de que un día cualquiera suban es del

70% para ambas. ¿Cuál es la probabilidad de que un día suba sólo una de ellas?

SOLUCIÓN:

Sea p1 la probabilidad de que suba Telefónica y p2 la de que suba Sniace. La probabilidad de

que solo suba una de ellas será:

p1 (1 - p2) + (1 – p1) p2 = 0,7 0,3 + 0,3 0,7 = 0,21 + 0,21 = 0,42

4. Sean 2 sucesos A y B de los que se sabe que la probabilidad de B es el doble que la de A;

que la probabilidad de su unión es doble que la de su intersección; y que la probabilidad

de su intersección es de 0,1. Se pide: 1) Calcular la probabilidad de A. 2) ¿Qué suceso es

más probable que ocurra sabiendo que ya ha ocurrido el otro?.

SOLUCIÓN:

1) Sea P(A) = x; entonces: P(B)= 2X. Además P[AUB] = 0,2 y P[AIB] = 0,1

P[AUB] = P(A)+P(B)- P (AIB))=x+2x-0,1=3x-0,1

P[AUB] = 3x – 0,1=0,2. despejando x=1

Por tanto P(A) = 0,1 y P(B) = 0,2.

2) Las probabilidades condicionadas serían:

P(A/B)= 0,5;

0,2

0,1

( )

( )

= =

P B

P AIB P(B/A)= 1

0,1

0,1

( )

( )

= =

P A

P AIB

Por tanto es más probable que ocurra B sabiendo que ha ocurrido A, que, que ocurra A sabiendo

que ha ocurrido B.

5. La probabilidad de cara de dos monedas son 0,4 y 0,7. Calcular la probabilidad de que

al lanzar las dos monedas salga sólo una cara. Repetir el ejercicio considerando que las

monedas están bien construidas.

SOLUCIÓN:

Para que salga solo una cara ha de ocurrir una de las dos cosas siguientes: que la primera

moneda saque cara y la segunda cruz o viceversa:

P[(C I X ) U (XIC)] = 0,4⋅ 0,3 + 0,6 ⋅ 0,7 = 0,12 + 0,42 = 0,54

Si las monedas están bien construidas las probabilidades de cara y cruz son iguales a 0,5; por

tanto: P[(C I X ) U (XIC)] = 0,5⋅ 0,5 + 0,5⋅ 0,5 = 0,5

6. Dos maquinas A y B han producido respectivamente, 100 y 200 piezas. Se sabe que A

produce un 5% de piezas defectuosas y B un 6%. Se toma una pieza y se pide:

1) Probabilidad de que sea defectuosa.

2) Sabiendo que es defectuosa, probabilidad de que proceda de la primera máquina.

SOLUCIÓN:

Indiquemos por: MA = {la pieza procede de la maquina A}

MB = {la pieza procede de la maquina B}

Entonces Ω = {300 piezas} = MA + MB

3

Ρ(Μ ) = 1 Α

3

Ρ(Μ ) = 2 Β

1) Sea D = {la pieza defectuosa}

0,0567

3

(0,06) 2

3

Ρ( ) = ( / ) ⋅ ( ) + ( / ) ⋅ ( ) = (0,05) ⋅ 1 + ⋅ = A A B B D P D M P M P D M P M

2) Es la probabilidad de MA condicionada a la presencia de D

0,2941

0,0567

3

(0,05) 1

( / ) ( ) ( / ) ( )

( / ) ( )

( / ) =

⋅

=

⋅ + ⋅

⋅

=

A A B B

A A

...