Probabilidad condicionada

Probabilidad condicionada

Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

El condicionamiento de probabilidades puede lograrse aplicando el teorema de Bayes.

Definición

Dado un espacio de probabilidad y dos eventos (o sucesos) con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B está definida como:

Interpretación

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza, sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está enfermo de gripe.

Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene gripe y dolor de cabeza . En este caso , es decir, la probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área de B. Como el área verde representa y el área de B representa a P(B), formalmente se tiene que:

se puede interpretar como, tomando los mundos en los que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A.

Propiedades

1.

2.

Pero NO es cierto que

Independencia de sucesos

Artículo principal: Independencia (probabilidad)

Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:

O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta, ó P(A,B).

puede ser expresada como el producto de las probabilidades individuales. Equivalentemente:

En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.

La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos independientes

Exclusividad mutua

Los conjuntos A y B no intersecan. Son mutuamente

...