Probabilidad

Universidad de Lima

Escuela Universitaria de Negocios

Estadística General

Guía de Prácticas 3

(2012 - 1)

VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Y CONTINUA

Temas: Variable aleatoria discreta y continua. Distribuciones notables (discretas y continuas) valor esperado y varianza de una variable aleatoria.

Variable aleatoria discreta:

Problema 1:

De un grupo de 8 personas 3 de las cuales son mujeres, se seleccionan al azar un grupo de 4 personas y se observa el número de mujeres en el grupo seleccionado.

El jefe del área de RR. HH de una empresa tiene bajo su mando a cuatro hombres y tres mujeres. Desea elegir dos trabajadores para una labor especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir algún sesgo en su selección. Sea X el número de mujeres seleccionadas. Construir la función de probabilidad de X.

Problema 2.

Se sabe que un grupo de 4 componentes contiene dos defectuosos. Un inspector prueba los componentes uno por uno hasta encontrar los dos defectuosos. Una vez encontrado el segundo se concluye la prueba, sea X el número de pruebas necesarias hasta encontrar el segundo defectuoso. Construya la función de probabilidad de la variable aleatoria X

Problema 3

En el directorio de una empresa se tienen un total de 20 asientos contables, de los cuales 6 están mal asentados y el resto está correctamente asentado. Un auditor selecciona al azar (sin reemplazo), 4 asientos contables para inspección. La empresa tiene que pagar una multa de 60 nuevos soles por cada uno de los asientos contables mal asentados.

a) Construya la función de probabilidad de la variable aleatoria monto pagado en multas luego de inspeccionadas los 4 asientos contables

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el monto de la multa para esta empresa supere los 150 nuevos soles?

Problema 4:

Un vendedor puede visitar diariamente uno o dos clientes con probabilidades 2/5 y 3/5 respectivamente. De cada visita puede resultar una venta por $500 con probabilidad 1/6 o ninguna venta con probabilidad 5/6. Si X son los montos de las ventas diarias, calcular e interpretar el promedio y el coeficiente la variación de X .

Problema 5:

El tiempo necesario para que un obrero procese cierta pieza es una v.a. con las siguientes distribución de probabilidades:

X 2 3 4 5 6 7

p(x) 0.1 0.1 0.3 0.2 0.2 0.1

a) Hallar el tiempo promedio de procesamiento y la varianza.

b) Para cada pieza procesada, el obrero gana una cantidad fija de S/.5, sin embargo si e procesa la pieza en menos de seis minutos, gana S/.1.5 por cada minuto ahorrado.

c) Determinar la media y la varianza de la variable aleatoria ganancia obtenida por pieza ensamblada.

Problema 6:

El número de horas que usted estudia durante un día seleccionado al azar. Suponga que la función de probabilidad de X tiene la forma siguiente, donde k es constante.

Cuál es la probabilidad que Ud. estudie:

a) por lo menos 2 horas?

b) exactamente dos horas?

c) a lo más dos horas?

Problema 7:

Por descuido, una persona ha colocado en un solo archivador tres expedientes con errores y siete sin errores. Si escoge al azar y sin reposición tres expedientes y define la variable aleatoria a X como el número de expedientes con errores elegidos.

a. Construya la distribución de probabilidad de X

b. ¿Cuál es la probabilidad de que elija:

b.1) dos que no tienen errores

b.2) a lo más uno que tiene errores.

b.3) los tres que tienen errores.

Problema 8:

Se tiene en dos archivadores documentos contables como sigue: en el archivador •A hay 4 documentos de clientes de Lima y 6 de clientes de provincias, en el archivador B hay 5 documentos de clientes de Lima y 7 de provincias. De cada archivador se elige al azar un documento y se define la variable X: número de documentos de clientes de provincias elegidos.

a) Construya la distribución de probabilidad de X

b) Por cada documento de clientes de Lima se paga 50 soles y por cada documento de clientes de provincias se paga 80 soles. ¿Cuánto se espera pagar por los dos documentos elegidos?

Problema 10:

Consideramos un dado de tal manera que, con el experimento aleatorio” tirar el dado”, la función de probabilidad de la variable aleatoria X = ”numero obtenido”, es

a) Calcular el valor de k.

b) ¿Está el dado bien balanceado?

c) Se propone el juego siguiente: se apuesta S/.500, se tira el dado y si sale par, se recupera la apuesta mas S/.100 pero si sale impar, se pierde la cantidad apostada ¿Merece la pena jugar?

Problema 10

La demanda mensual de uno de los productos de Export S.A. varía grandemente de un mes a otro. Con base a la información de los últimos 24 meses se logró estimar la distribución de las probabilidades para la demanda mensual del producto bajo estudio.

DEMANDA (unidades) 20000 30000 40000 50000

Probabilidad 0,25 0,35 0,30 0,10

a) Si la compañía establece un programa de producción tomando como base el valor esperado de la demanda mensual, ¿cuál debería ser el programa mensual de producción para este producto?

b) Suponga que cada unidad vendida produce un ingreso de $10 y que su costo es de $6, ¿cuánto ganará o perderá Export S.A. en un mes si su programa de producción se basa en (a) y la demanda fuera de 20,000 unidades?.

Problema 11

Tomando como base datos históricos, la distribución de las ventas diarias de paquetes de un producto en una tienda es como sigue:

No. de paquetes vendidos, x 10 11 12 13 14

P(X = x) 0.2 0.4 0.2 0.1 0.1

a) Calcule el número esperado y la desviación estándar del numero de paquetes vendidos.

b) El dueño de la tienda compra cada paquete a 15 soles y lo vende a 27 soles. Si en un día determinado, ha solicitado al distribuidor 12 paquetes; Sea U la utilidad del dueño de la tienda. Construya la distribución de probabilidad de U y calcule su valor esperado.

Distribución de variables aleatorias continuas

Problema 12:

El número total de horas (en cientos) que una familia hace uso de internet durante medio año es una variable aleatoria continua X, que tiene la siguiente función de densidad:

f(x) = 2- kx 0<x<1

a) Determine el valor de “K”, de tal manera que f(X) represente una función densidad de probabilidad.

b) Determine e interprete E(X) y desviación estándar de la variable aleatoria X.

c) Determine la función de distribución F(X).

Problema 13:

La temperatura, en grados centígrados con la que se produce la reacción en un experimento químico es una variable aleatoria con la siguiente función de densidad:

-1 < x < 2

a) Calcule la probabilidad de que la temperatura sea negativa.

b) Calcule e interprete el valor esperado y el coeficiente de variación de X

Problema 14

Los ingresos diarios que tienen las tiendas que comercializan útiles escolares y de oficina en las galerías de un centro comercial en el mes de marzo son una variable aleatoria, expresada en miles de soles, cuya función de densidad es la siguiente:

a) Hallar la probabilidad de que en un día las tiendas tengan ingresos superiores a 1000 soles

b) Si el ingreso de una de las tiendas en un día es superior a 900 soles, ¿cuál es la probabilidad de que no sobrepase los 1500 soles?

c) Si se sabe que hay 100 tiendas con ingresos inferiores a 800 soles. Determine cuantas tiendas que comercializan juguetes tienen ingresos superiores a 800 nuevos soles.

Distribuciones notables discretas:

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1. Una compañía de seguros sabe que la probabilidad de que una persona sufra cierto tipo de accidente durante un año es 10%. Se sabe que la compañía tiene 25 asegurados contra este tipo de accidente.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que afrontar los gastos de 2 de sus asegurados?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía tenga que afrontar los gastos de a lo más 3 asegurados?

d) Hallar la probabilidad de que la compañía tenga que afrontar los gastos de más de 1 asegurado.

e) Suponga que la compañía tiene que pagar 2500 soles por cada asegurado que sufre este accidente. Calcule el gasto esperado de la compañía durante el año.

2. Un estudiante ha preparado el examen de forma que tiene una probabilidad 0.7 de hacer bien un problema. Si para aprobar el examen debe resolver correctamente al menos la mitad de los problemas, ¿que tipo de examen le seria mas favorable, uno de 4 problemas o uno de 6?

3. Una empresa dedicada a la fabricación y venta de bebidas refrescantes observa que el 40% de los establecimientos que son visitados por sus vendedores realizan compras de esas bebidas.

a) Si un vendedor visita 6 establecimientos, determinar la probabilidad de que por lo menos 2 de esos establecimientos realicen una compra

b) Si el vendedor visita 10 establecimientos, hallar la probabilidad de que la mitad de ellos realicen una compra.

c) A un vendedor

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