Probabilidades: Definiciones Y Conceptos.

Probabilidades: Definiciones y Conceptos.

Apoyos de internet complementado la siguiente información.

AUTORES: allanm Webster. Devore.

Docente; Jeaqueline franco peña. Ajustes y actualización del presente texto.

Las Probabilidades pertenecen a la rama de la matemática que estudia ciertos experimentos llamados aleatorios, o sea regidos por el azar, en que se conocen todos los resultados posibles, pero no es posible tener certeza de cuál será en particular el resultado del experimento. Por ejemplo, experimentos aleatorios cotidianos son el lanzamiento de una moneda, el lanzamiento de un dado, extracción de una carta de un mazo de naipes. Más adelante se verá que debemos distinguir entre los conceptos de probabilidades matemáticas o clásicas de las probabilidades experimentales o estadísticas.

Probabilidad, Algunas Definiciones básicas

Espacio Muestral.- Se llama espacio muestral (E) asociado a un experimento aleatorio, el conjunto de todos los resultados posibles de dicho experimento.

Al lanzar una moneda, el espacio muestral es E = {sale cara, sale sello} ó E = {c, s}.

Al lanzar un dado de seis caras, el espacio muestral es

E = {sale 1, sale 2, sale 3, sale 4, sale 5, sale 6}

ó E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Al lanzar dos monedas, el espacio muestral es

E = {(c,c), (c,s), (s,c), (s,s)}.

Al lanzar tres monedas, el espacio muestral es E = {(c,c,c), (c,c,s), (c,s,c), (c,s,s), (s,c,c), (s,c,s), (s,s,c), (s,s,s)}

Evento o Suceso. Se llama evento o suceso a todo subconjunto de un espacio muestral. Por ejemplo en el espacio muestral E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} del lanzamiento de un dado, los siguientes son eventos:

1. Obtener un número primo A = {2, 3, 5}

2. Obtener un número primo y par B = {2}

3. Obtener un número mayor o igual a 5 C = {5, 6}

Eventos mutuamente excluyentes.- Dos eventos son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir en forma simultánea, esto es, si y sólo si su intersección es vacía. Por ejemplo, en el lanzamiento de un dado los eventos B = {2} y C = {5, 6} son mutuamente excluyentes por cuanto

B C =

Eventos Complementarios.- Si A B = y A B = E, se dice que A y B son eventos complementarios: Ac = B y

Bc = A

Su Medición Matemática o Clásica. Si en un experimento aleatorio todos los resultados son equiprobables (iguales probabilidades), es decir, la ocurrencia de uno es igualmente posible que la ocurrencia de cualquiera de los demás, entonces, la probabilidad de un evento A es la razón:

P(A) = número de casos favorables para A/número total de casos posibles

A partir de esta definición las probabilidades de los posibles resultados del experimento se pueden determinar a priori, es decir, sin realizar el experimento.

Se deduce de la definición lo siguiente:

0 P(A) 1 La medición probabilística es un número real entre 0 y 1, inclusive, ó 0% P(A) 100% en porcentaje.

P( ) = 0 y P(E) = 1

Su Medición Experimental o Estadística.- La frecuencia relativa del resultado A de un experimento es la razón

FR = número de veces que ocurre A/número de veces que se realiza el experimento

Si el experimento se repite un número grande de veces, el valor de FR se aproximará a la medición probabilística P del evento A. Por ejemplo, si lanzo 100 veces una moneda, el número de veces que obtengo cara es cercano a 50, o sea FR es cercano a 50%.

Probabilidades Como Conjuntos

1) E: espacio muestral o conjunto de todos los resultados posibles.

2) A B: al menos uno de los eventos A ó B ocurre.

3) A B: ambos eventos ocurren

4) Ac: el evento A no ocurre.

Ejemplo: en el experimento "lanzar un dado de seis caras" sean los eventos:

A = sale par, B = sale primo.

El evento "A ó B" = A B: "sale par o primo" se describe:

Si E es un conjunto de n elementos y A un subconjunto de k elementos, entonces

P(A) = k/n, concordando con la definición de las probabilidades.

Propiedades

Además de P(E) = 1, P( ) = 0, 0 P(A) 1, tenemos:

1) Si A B = (A y B se excluyen mutuamente) entonces:

P(A B) = P(A) + P(B)

2) P(A) + P(Ac) = 1

3) Si A B entonces

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

4) Si A y B son eventos independientes ( la ocurrencia de A no influye en la ocurrencia de B), entonces

P(A B) = P(A) • P(B)

5) Si A y B son eventos dependientes (la ocurrencia de A influye en la ocurrencia de B), entonces

P(A B) = P(A) • P(B/A)

P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo

que ha ocurrido A.

Ejemplos de Uso de las Propiedades.-

Por cada propiedad se entrega un ejercicio resuelto.

1. P(A B) = P(A) + P(B). Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura" y se nos pregunta por la probabilidad de que ocurra A ó B. Como estos eventos no pueden ocurrir simultáneamente, o sea, son mutuamente excluyentes, A B = y entonces

P(A ó B) = P(A B) = P(A) + P(B)

= P(sale 3) + P(sale figura) = 4/52 + 12/52 = 4/13.

2. P(A) + P(Ac) = 1. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, el evento A: "no sale rey" tiene como complemento al evento "sale rey", entonces resulta mas simple calcular la probabilidad de A como 1 - P(Ac):

P(no sale rey) = 1 - P(sale rey) = 1 - 4/52 = 12/13

3. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). En el lanzamiento de un dado de seis caras, los eventos A: "sale par" y B: "sale primo" tienen itersección no vacía: A B = {2}, entonces la probabilidad del evento "sale par o primo" = A ó B es

P(A o B) = P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)

= 3/6 + 3/6 - 1/6 = 5/6

4. P(A B) = P(A)•P(B). Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Los eventos: A: "sale par en el primer lanzamiento" y B: "sale un 3 en el segundo", son eventos independientes, entonces la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo" es

P(A y B) = P(A B) = P(A)•P(B) = (3/6)•(1/6)

= 1/12

5. P(A B) = P(A)•P(B/A). ó P(B/A) = P(A B)/ P(A) [P(B/A) es la probabilidad del evento B, sabiendo que ha ocurrido A]. En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones?

Debemos calcular P(as/corazón). La probabilidad de "as y corazón" es 1/52. La probabilidad de corazón es 13/52.

Luego, P(as/corazón) = P(as y corazón)/P(corazón) = (1/52)/(13/52) = 1/13.

Ejercicios de Probabilidades

1) Al lanzar un dado tres veces, ¿según las probabilidades,

es conveniente apostar a favor o en contra de obtener al menos una vez el 2?

"Al menos una vez el 2" quiere decir "alguna vez

se obtiene el 2". Llamando A={alguna vez se obtiene

el 2}, su complemento es

Ac={ninguna vez se obtiene el 2}

P(Ac)=P(no sale 2 en 1er lanzam.)• P(no sale 2 en 2º

lanzam.)•P(no sale 2 en 3er lanzam.)=5/6•5/6•5/6

=125/216 0,58.

Luego, como P(A)+P(Ac)=1

P(A)=1-0,58=0.42=42%. Por lo tanto, no conviene

apostar a favor.

2) En una tómbola hay dos bolitas blancas y tres bolitas negras, ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y después una negra?

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la

primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola.

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar

la primera bolita, ésta no se devuelve a la tómbola.

a) En este caso los eventos son independientes ya

que al reponer la bolita la ocurrencia de un evento no

afecta al otro.

Sean los eventos A: "sacar una bolita blanca" y B:

"sacar una bolita negra", entonces, usando

P(A B)=P(A)•P(B), P(A B)=2/5•3/5=6/25

b) Si no hay reposición, los eventos son dependientes

ya que la bolita no es repuesta a la tómbola, por lo que

ocupamos

P(A B)=P(A)•P(B/A)=2/5•3/4=3/10

3) Repita el problema 2) anterior, pero ahora la pregunta es ¿cuál es la probabilidad de sacar una blanca y una negra? (note que ahora no importa el orden).

a) Si hay reposición, esto es, después de sacar la

primera bolita, ésta se devuelve a la tómbola

b) Si no hay reposición, esto es, después de sacar

la primera bolita, ésta

...