Problemario Análisis Combinatorio

Análisis Combinatorio

1. ¿Cuántos números de dos dígitos pueden formarse con los dígitos:

2, 4, 7, 9.

Si:

1. Se permiten repeticiones

4𝑃1 ∙ 4𝑃1 = 16

1. No se permiten repeticiones de dígito alguno en un número

4𝑃2 = 12

1. Si no se permiten repeticiones de dígito alguno. ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos:

1, 2, 3, 4, 5, 6?

6𝑃3 = 120

1. ¿Cuántos de estos números son pares?

5𝑃2 ∙ 3𝑃1 = 60

1. ¿Cuántos son impares?

5𝑃2 ∙ 3𝑃1 = 60

1. ¿Cuántos son menores de 400?

3𝑃1 ∙ 5𝑃2 = 60

1. Si no se permiten repeticiones ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los dígitos:

1. ¿Cuántos son impares?

1. ¿Cuántos son múltiplos de 5?

1,3, 5, 6, 7, 8, 9?

7𝑃3 = 210

6𝑃2 ∙ 1𝑃1 = 150

6𝑃2 ∙ 1𝑃1 = 30

1. ¿Cuántos son mayores de 600?

4𝑃1 ∙ 6𝑃2 = 30

1. ¿Cuántos son menores de 500?

2𝑃1 ∙ 6𝑃2 = 120

1. ¿Cuántos son mayores de 354?

5𝑃1 ∙ 3𝑃1 ∙ 3𝑃1 = 45

1. Una placa de automóvil consiste en 3 letras seguidas de 3 dígitos.

1. ¿Cuántas placas pueden elaborarse?

1. Si se pueden repetir letras y dígitos.

27𝑃1 ∙ 27𝑃1 ∙ 27𝑃1 ∙ 10𝑃1 ∙ 10𝑃1 ∙ 10𝑃1 = 19683000

1. Si no se pueden repetir letras y dígitos

27𝑃3 ∙ 10𝑃3 = 12636000

1. Para el caso ii (sin repetición)

1. Cuantas placas terminan en impar

27𝑃3 ∙ 9𝑃2 ∙ 5𝑃1 = 6318000

1. Cuantas inician con 1

27𝑃3 ∙ 1𝑃1 ∙ 9𝑃2 = 1263600

1. ¿De cuántas formas pueden 3 personas tomar asiento en un salón donde hay 7 asientos?

7𝑃3 = 210

1. ¿En cuántas formas diferentes pueden contestarse 9 preguntas de falso y verdadero?

9𝐶2 = 36

1. Se pretende formar un comité por 4 liberales y 3 conservadores. Encuentre el número de elecciones posibles si se cuenta con 7 liberales y 8 conservadores para la formación del comité.

(4𝐿 𝑦 3𝐶) = 7𝐶4 ∙ 8𝐶3 = 1960

1. ¿Cuántos equipos diferentes de 9 jugadores de béisbol pueden ser elegidos de entre 3 que tan solo juegan la posición de pitcher, 2 que tan solo juegan la posición de cátcher y 10 que juegan cualquier posición diferente a la de pitcher o cátcher?

3𝐶1 ∙ 2𝐶1 ∙ 10𝐶7 = 720

1. Un ingeniero químico tiene 7 tratamientos distintos, cuya eficacia desea comparar en la producción de un molde de arena que puede usarse en el moldeo de hierro fundido. Desea comparar cada tratamiento con todos los demás. ¿Cuántas comparaciones de tipo par tendrá que efectuar?

7𝐶2 = 21

1. Una compañía tiene 10 programadores, 8 analistas de sistemas, 4 ingenieros en sistemas y 3 estadísticos. Se elegirá un “equipo” para nuestro proyecto de largo plazo. El equipo consistirá en 3 programadores, 2 analistas de sistemas, 2 ingenieros en sistemas y un estadístico.

1. ¿Cuántas formas puede seleccionarse el equipo?

10𝐶3 ∙ 8𝐶2 ∙ 4𝐶2 ∙ 3𝐶1 = 60480

1. Si el cliente insiste en que se incluya en el proyecto a un ingeniero con el que ha trabajado anteriormente. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el equipo?

10𝐶3 ∙ 8𝐶2 ∙ 1𝐶1 ∙ 3𝐶1 ∙ 3𝐶1 = 30240

1. Si se conoce el mal trabajo de uno de los analistas, ahora ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el equipo?

10𝐶3 ∙ 7𝐶2 ∙ 4𝐶2 ∙ 3𝐶1 = 22680

1. Una urna contiene una esfera blanca (B), una esfera roja (R) y una esfera verde (V), el experimento consiste en sacar una esfera de la urna y enseguida otra esfera. Determinar el espacio muestral.

𝑆 = {𝐵𝑅, 𝐵𝑉, 𝑅𝐵, 𝑅𝑉, 𝑉𝐵, 𝑉𝑅}

1. Seis monedas se lanzan simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que?:

1. Todas sean águilas

𝑆 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 64

6!        6

𝑃(𝐴) = (6 − 1)! = 64[pic 1][pic 2]

1. Sean águilas y 3 sean soles

6!        20

𝑃(𝐴 ∩ 3𝑆) = (6 − 3)! ∙ (6 − 3)! = 32[pic 3][pic 4]

1. En un lanzamiento de dos dados encuentre la probabilidad de que:

1. Ambos caigan con la cara del 6 hacia arriba

1

1. La suma de los puntos sea 7

𝑃(𝑥 = 6) =

36[pic 5]

6

𝑃(7) =[pic 6]

36

1. Uno y solo un dado nos de 6 puntos

2

𝑃(6) =[pic 7]

36

1. Un niño juega con los cubos numerados del 1 al 5 y los coloca en una hilera.

¿Cuál es la probabilidad de que el número así formado sea?:

𝑃5 = 5! = 120

1. Menor que 20000

1. Mayor que 40000

𝑃(𝑥 < 2000) =

𝑃(𝑥 > 4000) =

1𝑃1 ∙ 4𝑃4        1

=[pic 8][pic 9]

120        5

2𝑃1 ∙ 4𝑃3        2

=[pic 10][pic 11]

120        5

1. Los nombres de 5 hombres y 4 mujeres están escritos en unas tarjetas. Si 6 de las tarjetas son tomadas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de obtener los nombres de?:

1. 4 hombres y 2 mujeres.

9𝐶6 = 84

5𝐶4 ∙ 4𝐶2        5

1. 3 hombres y 3 mujeres

𝑃(4𝐻 𝑦 2𝑀) =

𝑃(3𝐻 𝑦 3𝑀) =

=

84        14[pic 12][pic 13]

5𝐶3 ∙ 4𝐶3        10

=[pic 14][pic 15]

84        21

1. Se toman tres esferas de una urna que contiene 6 esferas rojas y 5 negras. Encuentre la probabilidad de que:

1. Todas sean rojas.

1. Todas sean negras.

1. 2 sean rojas y 1 negra

𝑃(𝑅) =

𝑃(𝑁) =

6𝐶3        4

=[pic 16][pic 17]

11𝐶3        33

5𝐶3        2

=[pic 18][pic 19]

11𝐶3        33

𝑃(2𝑅 𝑦 1𝑁) =

3𝐶2 ∙ 4𝐶1        4

=[pic 20][pic 21]

11𝐶3        55

1. Si se selecciona al azar 3 películas de un estante que contiene 5 películas románticas, 3 de acción y una cómica, ¿Cuál es la probabilidad de?:

1. Se tome la película cómica

𝐶𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒𝑠 9𝐶3 = 84

𝑃(𝐶) =

1𝐶1 ∙ 8𝐶2        1

=[pic 22][pic 23]

84        3

1. Se escojan 2 películas románticas y una de acción

𝑃(2𝑅 𝑦 𝐴) =

5𝐶2 ∙ 3𝐶1        5

=[pic 24][pic 25]

84        14

1. Una linterna funciona con 4 baterías. Hay 11 baterías, 5 no tienen carga. En una selección aleatoria de la batería determine la probabilidad de que:

1. Se seleccione una batería sin carga

1. La interna funcione

𝑃(𝐵𝑆𝐶) =

5𝐶1 ∙ 6𝐶3        10

=[pic 26][pic 27]

11𝐶4        33

6𝐶4        1

𝑃(𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒) =

1. Al menos dos baterías tengan carga

=

11𝐶4        22[pic 28][pic 29]

𝑃(2𝐶) =

6𝐶2 ∙ 5𝐶2        5

=[pic 30][pic 31]

11𝐶4        11

...