TELECOMUNICACIONES ANALISIS COMBINATORIO Y PROBABILDAD

INSTITTUTO POLITECNICO NACIONAL

CECyT 11 “WILFRIDO MASSIEU”

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

TRABAJO DE INVESTIGACION

HERNANDEZ MORENO ENRIQUE ALEXENY

6IV12

TELECOMUNICACIONES

ANALISIS COMBINATORIO Y PROBABILDAD

El análisis combinatorio estudia las distintas formas de agrupar y ordenar los elementos de un conjunto, sin tener en cuenta la naturaleza de estos elementos. Los problemas de arreglos y combinaciones pueden parecer aburridos y quizá se piense que no tienen utilidad pero los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad. La probabilidad se encarga de los arreglos y las combinaciones que determinan el número de formas diferentes en que un acontecimiento puede suceder. El análisis combinatorio tiene aplicaciones en el diseño y funcionamiento de la tecnología computacional así como también en las ciencias. La teoría combinatoria se aplica en las áreas en donde tengan relevancia las distintas formas de agrupar elementos. El origen del análisis combinatorio se le atribuye a los trabajos de Pascal (1596 – 1650) y Fermat (1601 - 1665) que fundamentan el cálculo de probabilidades. Leibiniz (1646 – 1716) publicó en 1666 “Disertatio de Arte Combinatoria”. El mayor impulsor de esta rama fue Bernulli quien en sus trabajos incluye una teoría general de permutaciones y combinaciones. Resumiendo, El objeto del Análisis combinatorio o Combinatoria es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

CONTEO

 Para calcular la cantidad de elementos que tienen los conjuntos formados con ciertas reglas, sin que sea necesario saber enumerarlos uno a uno se utiliza el principio fundamental del conteo. Este principio establece que si un evento puede tener lugar de m maneras diferentes y, luego de sucedido éste, un segundo evento puede suceder de p maneras distintas, el número de formas diferentes en que pueden realizarse los dos eventos es:        m ⋅ p

PROBLEMAS

1.- Si en una reunión hay 3 hombres y 4 mujeres, ¿de cuántas maneras es posible seleccionar una pareja hombre-mujer?

R= 4 + 4 + 4 = 12  o 3(4) = 12

2.- Consideremos el conjunto A = { 5,4,3,2,1 }, ¿cuántos números de cinco cifras diferentes se pueden formar con los elementos del conjunto A ?

R= 5(4)(3)(2)(1) = 120.

3.- El juego de placas de un automóvil consta de tres dígitos de los cuales el primero no es cero, seguidas de tres letras diferentes. ¿Cuántos juegos de placas pueden formarse? (se consideran 26 letras y 10 dígitos).

R= 9(10)(10)(26)(26)(26) =15'818,400.

4. Katherine tiene 6 pantalones y 5 blusas. ¿De cuantas maneras distintas puede ponerse una blusa y un pantalón? (6) (5) = 30

5.-De cuantas maneras se pueden ubicar 10 personas en una camioneta si solo uno de ellos sabe manejar P9= 9!= 9*8*7*6*5*4*3*2*1= 362880

PERMUTACIONES

Dados n objetos diferentes n a , a , a , , a 1 2 3 ⋅⋅⋅ , ¿de cuántas maneras es posible ordenarlos? Por ejemplo, para los elementos α, β, γ, hay 6 ordenaciones: αβγ, αγβ, βαγ, βγα, γαβ, γβα. En el caso general se tendrán n maneras de escoger un elemento que ocupará el primer lugar, n −1 maneras de elegir el que ocupará el segundo lugar, n − 2 formas de escoger el que ocupa el tercer lugar y así sucesivamente hasta tener una forma de elegir el que ocupa el último lugar. Por lo tanto, la cantidad de maneras de ordenar n elementos diferentes es: n(n −1)(n − 2)⋅⋅⋅1 = n!. Cada ordenación de los n objetos se llama una permutación simple de los n elementos y la cantidad de estas permutaciones se representa Pn . De esta manera P n! n = . Es decir, las permutaciones son las agrupaciones de los p elementos tomados a la vez, de manera que dos agrupaciones difieran entre sí en el orden de los elementos. Se puede concluir, a partir de lo anterior, que las permutaciones son un caso particular de ordenaciones, cuando se consideran todos los elementos del conjunto.

Problemas

1.-¿Cuántos son los anagramas (transposiciones de letras) de la palabra PRÁCTICO?

R= P, R, A, C, T, I, C, O =  !8 = 40,320

2.- ¿Cuántos son los anagramas de la palabra PRÁCTICO que comienzan y terminan en consonante?

R=Como la palabra tiene ocho letras y hay tres vocales, la consonante inicial puede ser elegida de 5 maneras. Al empezar con una consonante, la consonante final sólo puede elegirse de 4 formas. Las restantes pueden ser arregladas entre esas dos consonantes de p6=  6!= 720 formas. La respuesta es: 5(4)( !6 ) =14,400 .

3.- ¿En un parque, de cuántas maneras pueden sentarse cinco chicos y cinco chicas en cinco bancas para dos, de modo que en cada banca queden un chico y una chica?

R=El primer chico puede escoger un lugar de 10 formas, el segundo de 8 maneras, el tercero de 6 modos, el cuarto de 4 formas y el quinto de 2 maneras. Colocados los chicos, debemos colocar las 5 chicas en los 5 lugares que sobran, lo que puede ser hecho de P5 =  5!= 120 formas. La respuesta es: 10(8)(6)(4)(2)( !5 ) = 460,800 .

4.- Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9     a = 3     b = 4     c = 2     a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos.
Sí importa el orden.
Sí se repiten los elementos.

5.- Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas de igual color no se distinguen entre sí, ¿de cuántas formas posibles pueden ordenarse?

[pic 1]

REGLA DE BAYES

El teorema de Bayes, en la teoría de la probabilidad, es una proposición planteada por el filósofo inglés Thomas Bayes ( 1702-1761) en 1763, que expresa la probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en términos de la distribución de probabilidad condicional del evento B dado A y la distribución de probabilidad marginal de sólo A.

En términos más generales y menos matemáticos, el teorema de Bayes es de enorme relevancia puesto que vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A. Es decir que sabiendo la probabilidad de tener un dolor de cabeza dado que se tiene gripe, se podría saber (si se tiene algún dato más), la probabilidad de tener gripe si se tiene un dolor de cabeza, muestra este sencillo ejemplo la alta relevancia del teorema en cuestión para la ciencia en todas sus ramas, puesto que tiene vinculación íntima con la comprensión de la probabilidad de aspectos causales dados los efectos observados.

Sea [pic 2] un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de cero (0). Sea B un suceso cualquiera del que se conocen las probabilidades condicionales [pic 3]. Entonces, la probabilidad [pic 4] viene dada por la expresión:

[pic 5]

donde:

[pic 6] son las probabilidades a priori.

[pic 7] es la probabilidad de [pic 8] en la hipótesis [pic 9].

[pic 10] son las probabilidades a posteriori.

FORMULA DE BAYES

Con base en la definición de Probabilidad condicionada, obtenemos la Fórmula de Bayes, también conocida como la Regla de Bayes:

[pic 11]

Esta fórmula nos permite calcular la probabilidad condicional [pic 12] de cualquiera de los eventos [pic 13], dado [pic 14]. La fórmula [pic 15] "ha originado muchas especulaciones filosóficas y controversias".

PROBABILIDAD CONDICIONADA

Es la probabilidad de que ocurra un evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B».

No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B. A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.

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