Problemas bidimensionales y guías de ondas

Problemas bidimensionales y guías de ondas

En la sección anterior, examinamos soluciones unidimensionales. Encontramos que las soluciones son ondas TEM (eléctricas y magnéticas transversales) planas o cilíndricas. Las ondas TEM son el tipo más simple de ondas electromagnéticas.

El siguiente nivel de ondas simples es el magnético transversal (TM) o el eléctrico transversal (TE). Tales ondas surgen cuando la onda está confinada (limitada) en el plano transversal con, digamos, límites conductores, y viaja en una dirección normal al plano transversal.

3.1 Soluciones bidimensionales en coordenadas cartesianas

Investiguemos la solución de las ecuaciones de Maxwell bajo las siguientes restricciones: (1) la onda viaja en la dirección z, (2) tiene un componente de campo eléctrico en la dirección z, (3) no hay fuentes en la dirección región de interés, y (4) el medio en la región de interés no tiene pérdidas.

El componente Ez satisface la ecuación[pic 1]

Dónde[pic 2]

Dejar[pic 3]

La onda es una onda viajera positiva cuando γ es imaginario, es decir, γ = jβ, donde β es real y positivo. Es una onda atenuante cuando γ es puramente real, es decir, γ = α, donde α es real y positivo. Dado que se supone que el medio no tiene pérdidas, la atenuación en este caso se debe al hecho de que la onda es evanescente. Lo confirmaremos después de completar la solución.

Sustituyendo la Ecuación 3.3 en la Ecuación 3.1, obtenemos[pic 4]

Donde[pic 5]

El método de separación de variables es una técnica estándar para resolver esta ecuación diferencial parcial (PDE). La técnica convierte la PDE en ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) con una restricción en las constantes de separación. El significado se aclara a medida que avanzamos.

Sea F expresada como un producto de dos funciones

donde f1 es completamente una función de x y f2 es completamente una función de y. Sustituyendo la Ecuación 3.6 en la Ecuación 3.4, obtenemos[pic 6][pic 7]

Derivando parcialmente con respecto a x, obtenemos[pic 8]

Sea esta constante denotada por −kx2 . La ecuación 3.9 se puede escribir como[pic 9]

Siguiendo el mismo argumento, el segundo término en la Ecuación 3.7 se puede equiparar a −ky2, lo que lleva a la EDO[pic 10]

De la Ecuación 3.7, podemos ver que las constantes kx2 y ky2 están sujetas a la restricción[pic 11]

La PDE (Ecuación 3.4) se convierte en las dos ODE dadas por las Ecuaciones 3.9 y 3.10 sujetas a la restricción dada por la Ecuación 3.12. Cada ODE tiene dos soluciones independientes.

Si las constantes kx2 y ky2 son negativas, es decir,[pic 12]

donde Kx2 y Ky2 son positivos, entonces las soluciones son funciones hiperbólicas. Así, las funciones admisibles son

La solución a un problema dado puede construirse eligiendo una combinación lineal de las funciones admisibles. La elección está influenciada por las condiciones de contorno. En la siguiente sección se da una ilustración.[pic 13]

3.2 Modos TMmn en una guía de onda rectangular

La Figura 3.1 muestra la sección transversal de una guía de ondas rectangular con límites conductores (PEC) en x = 0 o a y y = 0 o b. Los modos TM tienen Ez ↑ 0 y H z = 0. El componente Ez satisface la Ecuación 3.1 dentro de la guía y, sin embargo, es cero en los límites de PEC.

Esta condición de frontera se traduce en la “condición de frontera de Dirichlet” F(x, y) = 0 en las fronteras dadas por x = 0 o a, o cuando y = 0 o b. El requisito de múltiples ceros en los ejes, incluido un cero en x = 0, nos obliga a elegir la función sen kx x para la variación de x. Es más,[pic 14]

[pic 15]

FIGURA 3.1

Sección transversal de una guía de ondas rectangular. Modos TM. Problema de Dirichlet.

Un argumento similar conduce a la elección de la función seno para la variación de y y también[pic 16]

Ahora, podemos escribir la expresión para Ez del modo mnth TM:[pic 17]

donde Emn es la constante de modo del modo TMmn. De las Ecuaciones 3.5, 3.12, 3.18 y 3.19, obtenemos[pic 18]

La ecuación 3.23 debe cumplirse para que la onda sea una onda que se propaga en lugar de una onda evanescente. Recordando k2 = (2πf)2 με y definiendo

Nosotros podemos obtener[pic 19][pic 20][pic 21]

Donde[pic 22]

Surge así el concepto de una frecuencia de corte modal fc de una guía de ondas. Cuando la frecuencia de la señal f es mayor que la frecuencia de corte del modo fc, el modo se propagará.

Cuando f < fc, el modo será evanescente. Dado que los valores más bajos de m y n son 1, la frecuencia de corte más baja de los modos TM en una guía de ondas rectangular es[pic 23]

Una vez que se determina Ez, podemos obtener todos los demás componentes de campo de la onda TM en términos de Ez aplicando las ecuaciones de Maxwell:[pic 24]

Hemos elegido Ez apropiadamente para satisfacer la condición de contorno Etan = 0 en las paredes conductoras de la guía. Sin embargo, para una onda TM, existen otras componentes tangenciales que también deben reducirse a cero en las paredes. Por ejemplo (Figura 3.1),    Ex = 0 en las paredes y = 0 o b. Observamos, a partir de la ecuación 3.29, que esta condición de contorno se satisface automáticamente. También notamos, de la Ecuación 3.30, que la condición de frontera Ey = 0 en x = 0 o a se satisface automáticamente. Por lo tanto, para el problema de guía de ondas TM, Ez es un potencial. La solución se obtiene encontrando Ez que satisfaga la ecuación de Maxwell y la condición de contorno de Ez = 0 en el conductor (condición de contorno de Dirichlet). Los otros componentes del campo se obtienen de Ez y las condiciones de contorno en los otros componentes del campo se satisfacen automáticamente.

Así como hemos definido la impedancia de onda para la onda TEM, también podemos definir la impedancia de onda para una onda TM:[pic 25]

Cuando la frecuencia de la señal es menor que la frecuencia de corte, Zw es puramente imaginario, lo que muestra que los campos eléctricos y los campos magnéticos asociados en el plano transversal están en cuadratura de tiempo, el componente del vector de Poynting en la dirección z es imaginario y la potencia el flujo es puramente reactivo. La ola es evanescente.

La longitud de onda λ de la señal en el medio sin los límites viene dada por[pic 26]

Podemos definir una longitud de onda guía λg como[pic 27]

Por encima del corte, la longitud de onda λg es mayor que la longitud de onda ilimitada λ. A veces es más conveniente definir una longitud de onda de corte λc para una guía de ondas:[pic 28]

El modo de guía de ondas se propaga si λ < λc.

3.3 Modos TEmn en una guía de onda rectangular

Los modos TE tienen Ez = 0, pero Hz ↑ 0. El componente Hz satisface

Dejar[pic 29][pic 30]

La función G satisface[pic 31]

donde kc2 está nuevamente dada por la Ecuación 3.5.

La condición de frontera en Hz en las paredes del PEC, de la Ecuación 2.26, está dada por[pic 32]

donde n es un vector unitario normal como se muestra en la Figura 3.2. Esta condición de contorno se traduce en la condición de contorno de G dada por la Ecuación 3.40[pic 33]

Como en el caso de TM, se puede demostrar que todas las demás condiciones de contorno en PEC se cumplen automáticamente cuando se cumplen las Ecuaciones 3.41 a 3.42:[pic 34]

donde Hmn es la constante de modo del modo TEmn. El valor más bajo permitido para m o n es cero. El potencial para los modos TE es Hz y el tipo de problema de valor límite donde el

FIGURA 3.2[pic 35]

Sección transversal de una guía de ondas rectangular. Modos TE. Problema de Neuman.

La derivada normal del potencial es cero en la frontera se llama el problema del valor de la frontera de Neuman. La frecuencia de corte fc para los modos TE viene dada por la Ecuación 3.27. Si a > b, entonces obtenemos los modos TE de corte más bajos eligiendo m = 1 y n = 0. La elección de m = n = 0 lleva a una solución trivial de que todos los campos son cero en la guía de ondas.

...