Problemas Guía examen Final.

Problemas Guía examen Final.

Ejemplo1.- Un resorte que tiene una constante de fuerza de 80N/m se comprime con una longitud de 3.0 cm, a partir del equilibrio, sobre una superficie horizontal y lisa, como se muestra en la figura. Calcule el trabajo realizado por el resorte, conforme el bloque se mueve desde x1 = -3.0 cm hasta su posición no deformada, xf= 0.

Solución .- Se utiliza la ecuación

donde tenemos: x1 = -3,0cm = 3 X 10⁻² m y se obtiene

W = - ½ (80 N/m²)(0 - (- 3 X 10⁻² m)²

W = - ½ (80 N/m)(0,009 )

W = 3.6 X 10⁻² J

Ejemplo2.- Se empuja un automóvil deportivo sobre una superficie horizontal, por medio de una fuerza horizontal que varía con la posición, según se indica en la gráfica. Determine un valor aproximado del trabajo total realizado al mover el automóvil desde x= 0 hasta x = 20m.

Solución .- Se puede obtener el resultado a partir de la gráfica, dividiendo el desplazamiento total en muchos desplazamientos pequeños. Por simplicidad se considera conveniente dividir el desplazamiento total en 10 desplazamientos consecutivos, cada uno con una longitud de 2m, como se muestra en la figura. El trabajo efectuado en cada desplazamiento pequeño es aproximadamente igual al área del rectángulo indicado con líneas de trazos. Por ejemplo, el trabajo realizado durante el primer desplazamiento, desde x = 0 hasta x = 2m es el área de rectángulo más pequeño, (2m)(5N) = 10J; el trabajo efectuado en el segundo desplazamiento, desde x= 2 m hasta x = 4 m, es el área del segundo rectángulo, (2m)(12N) = 24J. Si se continua en esta forma se obtienen las demás áreas faltantes hasta llegar a 20m, la suma de las cuales da el trabajo total efectuado. El resultado es

W ≈ 460 J

Naturalmente, la exactitud del resultado mejorará a medida que se hagan más pequeñas las alturas de los intervalos.

Ejemplo 3.- Determina la constante de fuerza de un resorte, si se alarga 2.0 cm , como lo muestra la figura, por la acción de una masa de 0.55 kg.

Solución.- El resorte se cuelga verticalmente como lo muestra la figura, el resorte se estira una longitud d, respecto de su posición de equilibrio, bajo la acción de la “carga” mg. Como la fuerza del resorte es hacia arriba, debe equilibrar el peso mg que es hacia abajo, cuando el sistema esta en reposo.

En este caso se puede aplicar la Ley de Hooke, para dar:

Fs = kd = mg , donde:

k = mg/d = ((0.55 kg) (9.8 m/s² ) / (2 X10⁻² m) = 2.7 X 10² N/m

Ejemplo 4.- Un cuerpo oscila efectuando un movimiento armónico simple a lo largo del eje x. Su desplazamiento varía con el tiempo, según la ecuación:

x = 4.0 cos ( πt + π /4)

en donde x se da en m, t en s y los ángulos en radianes.

a) Se determinará la amplitud, frecuencia y período del movimiento.

b) Se calculara la velocidad y la aceleración del cuerpo en cualquier instante t.

c) Aplicando los resultados obtenidos en b), determina la posición, velocidad y aceleración del cuerpo en t = 1 s .

d) Calcula la rapidez y la aceleración máximas del cuerpo.

e) Determina el desplazamiento del cuerpo entre t = 0 y t= 1s.

f) Cual es la fase del movimiento en t = 2s?

Solución.- a) Al comparar esta ecuación con la relación general del movimiento armónico simple, , se ve que A = 4.0m y w = π rad/s, por lo tanto, f= w/2π = π/2π = 0.50 Hz y T= 2.0 s.

b)

v= -4 π sen (πt + π/4) m/s

a = - 4π² cos (πt + π/4) m/s²

c) Se observa que los ángulos de las funciones trigonométricas están dados en radianes, en t = 1 s se obtiene:

x = 4.0 cos (π + π/4) = 4.0 cos (5π/4) = 4.0(-0.71) = -2.8 m

v = -4.0π sen(π + π/4) = -4.0 πsen (5π/4) = -4.0π(-0.71) = 8.9 m/s

a= -4π²cos (π + π/4)= -4.0 π²cos (5π/4)= -4.0 π² (-0.71)= 28 m/s²

d) Al analizar las relaciones generales para v y a, en b) se observa que los valores máximos de las funciones seno y coseno son la unidad. Por lo tanto:

vmax = 4π m/s y amax = 4 π² m/s²

e) la coordnada en t = 0 es:

x = 4.0 cos(0 + π/4)= 4.0(-0.71) = 2.8 m

en el inciso c) nos dio en t = 1 , x = -2.8 m

entonces:

Δx = x2 – x1 = (-2.8 – 2,8) = - 5.6 m

a) = π(2) + π/4 = 9π/4 rad

Ejemplo 5.- Una masa de 0.5 kg, conectada a un resorte ligero cuya constante de fuerza es 20 N/m, oscila sobre una superficie horizontal y sin fricción. Calcula la energía total del sistema y la rapidez máxima de la masa, si la amplitud del movimiento es 3 cm.

Solución.-

Se aplica la ecuación

E= ½ (20 N/m) (3 x 10⁻² m)²= 9.0 X 10⁻³ J

Cuando la masa esta en x = 0 , U = 0 y E = ½ mv²max; por lo tanto:

½ mv²max = 9 x 10⁻³ J

v = √ (18 x 10⁻³ J/0.5 kg ) = 0.19 m/s

Ejemplo 6.- a)Determina la longitud de un péndulo simple, si se desea que su período sea de 1.00 seg.

b) Suponiendo que el período descrito en el inciso a) se lleva a la Luna, en donde la aceleración debido ala gravedad es de 1.67 m/s². ¿Cuál sería allí su período?

Solución.-a) Se aplica y se despeja L,

L = (g/4 π²)T² = (9.80 m/s²/4 π²)(1.00s)² = 0.248 m

b) , T = 2π√ (0.248m /1.67 m/s²) = 2.42 s

Ejemplo 7.- Una hendidura en un tanque de agua tiene un área de sección transversal de 1cm² ¿Con que velocidad se sale el agua del tanque. Si el nivel del agua es este es de 4m sobre la abertura, y determina su gasto (flujo de líquido).

Aplicaciones de la ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli encuentra aplicación en casi todos los aspectos del flujo de fluidos. La presión P debe reconocerse como la presión absoluta (presión manométrica + presión atmosférica) y no la presión manométrica. Recuerde que ρ es la densidad y no el peso específico del fluido. Observe que las unidades de cada término de la ecuación de Bernoulli son unidades de presión (N/m³).

En gran número de situaciones físicas, la velocidad, la altura o la presión de un fluido son constantes. En tales casos la ecuación de Bernoulli adquiere una forma simple. Por ejemplo, cuando un líquido es estacionario, tanto v1 como v2, valen cero. La ecuación de Bernoulli nos mostrará que la diferencia de presiones es

P2 – P1 = ρ g (h1 – h2)

Otro resultado importante se presenta cuando no hay cambio en la presión (P1= P2). Como nos muestra el problema 1; un líquido sale de un orificio situado cerca del fondo de un tanque abierto, su velocidad cuando sale de un orificio puede determinarse a partir de la ecuación Bernoulli.

Debemos suponer que el nivel del líquido en el tanque desciende lentamente en comparación con la velocidad de salida, de tal modo que la velocidad v2 en la parte superior puede considerarse cero. Además debe tomarse en cuenta que la presión del líquido tanto en la parte superior como en el orificio es igual a la presión atmosférica (Po).

Entonces P1 = P2 y v2 = 0

, lo que reduce la ecuación de Bernoulli a

O bien

Esta relación se conoce como teorema de Toricelli:

Con esta fórmula obtenemos la velocidad

V = √(2gh) = √(2 (9.81m/s²)(4m) = √78.48 = 8.85 m/s

Y para el gasto (volumen por unidad de tiempo) se puede calcular

Gasto = velocidad X sección transversal

R = va = (8.85 m/s)(0.0001m²) = 0.000885 m³/s

Ejemplo 8.- Un corcho tiene un volumen de 4 cm³ y una densidad de 207 kg/m³ (a) Que volumen del corcho se encuentra bajo la superficie cuando el corcho flota en el agua? (b) Que fuerza hacia abajo es necesaria para sumergir el corcho por completo?

Solución.-Problema 2. Independiente del problema si yo quiero calcular el peso (W) del corcho antes de sumergirlo en el agua, tenemos la fórmula:

W = mg pero como nuestros problema no nos da ninguno de estos datos, a excepción de la gravedad que es 9.81 m/s², sustituimos la masa por la siguiente relación:

m = ρV (masa = densidad del corcho X el volumen del corcho)

Dándonos la fórmula para calcular el peso de esta manera: W = ρ V g

Dándonos que el peso del corcho (W) es igual ala densidad del corcho (ρ) X el volumen del corcho (V) X la gravedad.

Recordemos que la densidad es una característica relación masa- volumen del material que estemos usando, y que en fluidos incomprensibles es constante (todos los casos vistos en los dos temas), y la podemos obtener en tablas (ver en la tabla), o inclusive se nos da como dato en los problemas.

Por lo que ahora, si nos va a ser posible obtener el peso del corcho, dado que nos dan como datos la densidad del corcho y su volumen (que hay que convertirlo a m³).

Wcorcho = ρgV = (ρcorcho)(g)(Vcorcho) = (207 kg/m³)(9.8 m/s²)(4 x m³)

Wcorcho = 8.11 x N

Ahora tomamos el corcho y lo sumergimos en agua, nosotros por experiencia sabemos que el corcho se hunde y vuelve a subir, hasta quedar

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