Problemas de cálculo de aceleración de un móvil

PROBEMA 1.

Encuentra 2 números positivos cuya suma sea 20 y el producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea un valor máximo.

Solución:

Sean “x” y “y” los números buscados entonces:

La suma de los números es 20: x + y = 20

El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro, es máximo: P= x2y3

Se despeja “y” de la primera igualdad y se sustituye en el producto:

X + y = 20 →  y = 20 – x

Por tanto: P = x2 y3 = x2 (20 - x)3    será la función a maximizar.

1) Se obtiene la primera derivada: P’(x) = x (20 - x)2 (40 – 5x)

2) Se iguala a cero la ecuación: P’(x) = 0,  x (20 - x)2 (40 – 5x)=0

Al resolver esta última ecuación se obtienen los valores críticos: x = 0, x = 20, x = 8

3) Se obtiene la segunda derivada: P’’(x) = -20x3 + 720x2 – 7,200x + 16,000

4) Se analizan los valores críticos:

Para x = 0, P’’(0) = 16,000 > 0, entonces en x=0 existe un valor mínimo

Para x = 20, P’’(20) = 0, entonces en x = 20 no existe valor máximo ni mínimo

Para x = 8, P’’(8) = -5,760 < 0, entonces en x = 8 existe un valor máximo

   Por lo tanto, uno de los valores es x = 8 y al sustituir en “y = 20 - x” se obtiene y = 12. Entonces los números que buscamos son:

X = 8, y = 12

Problemas de cálculo de aceleración de un móvil.

Definición. Si  es una función de posición de un objeto que se mueve en línea recta, entonces su función de velocidad en el tiempo  es:  [pic 1][pic 2][pic 3]

Definición. Si  es la velocidad de un objeto que se mueve en línea recta, entonces su función de aceleración en el tiempo  es: [pic 4][pic 5][pic 6]

Problema 1.

Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace un recorrido de 15 minutos según la ecuación  Si se mide el tiempo en minutos y el espacio en metros. Determinar la velocidad máxima y la aceleración del móvil. [pic 7]

Solución:

Para determinar la velocidad, encontramos la primera derivada:

[pic 8]

[pic 9]

Por lo tanto, la velocidad está determinada por [pic 10]

Para determinar la aceleración, encontremos la segunda derivada:

[pic 11]

[pic 12]

Por lo tanto, la aceleración está determinada por [pic 13]

Para que la velocidad sea máxima, la aceleración debe ser positiva.

Entonces hacemos  [pic 14]

[pic 15]

Solo se considera el valor positivo de la raíz entonces [pic 16]

Para encontrar la velocidad máxima en  sustituimos en:[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

 La velocidad máxima es 1881.208 m/min[pic 20]

Problema 2.

Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 80 pies de alto. La función  modela la altura (en pies) por encima del piso a la que se encuentra esta pelota en el instante  (seg.).[pic 21][pic 22]

Describir el movimiento del objeto

Solución:

Determinamos la velocidad, es decir, encontremos la primera derivada.

[pic 23]

Ahora determinemos la aceleración, es decir, la segunda derivada.

[pic 24]

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