PROPUESTA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS PARA CÁLCULO I y Taller

PROPUESTA DE EJERCICIOS Y PROBLEMAS PARA  CÁLCULO I y Taller

Observaciones:

• Leer con detalle las instrucciones de los ejercicios y problemas
• Se pide desarrollen la resolución de los ejercicios y problemas, como se indica en la instrucción correspondiente.

PRELIMINARES

Deberá hacer una revisión de los conocimientos previos que permitirán un mejor aprendizaje del Cálculo. No se pone en duda que todos llegamos a la Universidad con un conocimiento del Cálculo, no olvidar el buen manejo de la aritmética, álgebra, geometría,etc. Años dorados. Pero me parece importante poner atención en aspectos que creemos ya superadas. Concretamente, será muy importante atender cómo escriben lo que se pide, es decir, en la matemática usamos un lenguaje que nos permite un aprendizaje gradual en donde no escapamos de su aplicación en cursos posteriores, es decir los escenarios que vienen acorralan a utilizar las matemáticas para explicar una inmensidad de fenómenos que han “regulado” el desarrollo de las ciencias y la tecnología. Simple, estamos frente a contextos diversos. Seguro daremos un gran avance.

Por otro lado, las cosas no se aprenden sólo por estar en clase, tendrá que disciplinarse en la materia, y en el salón de clase. La atención a los comentarios, procedimientos de cada uno de los temas que revisaremos es muy importante. Por tanto, tener un espacio apropiado para recibir cada clase es lo más importante además de enfatizar en un ambiente de respeto y de confianza entre todos. Es por esto que requiero de su compromiso. Seguro cuento con ustedes.

PRIMERA PARTE.

PRELIMINARES

AXIOMAS DE CAMPO

AXIOMAS DE ORDEN

PROPIEDADES

ÁLGEBRA ( ¿ SIMPLIFICA, DESARROLLA, RESUELVE, FACTORIZA, ETC.?)

1. Resuelve la desigualdad, mostrando el procedimiento que decidió usar Exprese la solución usando notación de conjuntos.

[pic 1]                                                                                               

[pic 2]

2. Primero, Usa la definición de valor absoluto para resolver la ecuación.

[pic 3]               

Ahora, combinamos propiedades del valor absoluto, las recuerdas, la resolución de desigualdades. Veamos cómo resolver lo siguiente.

[pic 4]                                 [pic 5]

Pensemos en un diseño.

3.

a. Se construye una caja sin tapa con una pieza rectangular de cartón que mide 14 por 22  pulgadas, cortando en cada esquina cuadrados del mismo tamaño de lado x, y doblando después los cuatro extremos hacia arriba. Exprese el volumen V que admite la caja, o capacidad de la caja, como una función de x.

Más modelitos.

b. Exprese el volumen V de un cubo como función del área de su superficie total S.

c. La altura de cierto cilindro circular recto es igual a su radio. Exprese el área de su superficie total A (incluyendo ambas tapas) como función de su volumen V.

d. Exprese el área A de un triángulo equilátero como función de su perímetro P.

e. Una pieza de cable con 100 pulgadas de largo se corta en dos piezas de longitud x y 100-x. La primera pieza se dobla en forma de cuadrado, la segunda en forma de circunferencia. Exprese como función de x la suma A de las áreas del cuadrado y el círculo.

Sobre Funciones

La mejor forma de reconocer a las funciones es entender la definición, el concepto de dominio, el rango, lo que significa la regla de correspondencia y finalmente la gráfica. Empieza estudiando las funciones básicas. Les recuerdo, va…

Función Constante, funciones lineales, función cuadrática, función valor absoluto, función raíz cuadrada, función racional o inversa proporcionalmente, etc.  

Entendamos, Las funciones se construyen a partir de la suma, resta, producto, cociente y composición ¡(fog)! de las funciones básicas o elementales. Por tanto, están obligados a soñar con las funciones elementales, reconocerlas por cada una de sus características, entonces, a darle..,.

4. Dada la función, calcule lo que se pide.

a. [pic 6], calcule f(0), f(-1), f(-2),f(1), f(2), f(c+h), f(c-h); Localiza las parejas de puntos en el plano cartesiano, luego, bosqueje la gráfica sobre su dominio máximo; a partir de la gráfica determine el rango de la función cuadrática.

b. [pic 7], calcule f(0), f(-1), f(-4),f(1), f(2), f(a+h), f(a-h); Localiza las parejas de puntos en el plano cartesiano, luego, bosqueje la gráfica sobre su dominio máximo; a partir de la gráfica determine el rango de la función lineal.

c. [pic 8], calcule f(0),f(1), f(9), f([pic 9]), f([pic 10]; Localiza las parejas de puntos en el plano cartesiano, luego, bosqueje la gráfica sobre su dominio máximo; a partir de la gráfica determine el rango de la función raíz cuadrada.

5.

5.1 Dada la función por tramos

                              [pic 11]

a. Encuentre cada uno de los valores siguientes f(0),f(6), f(-2), f(5).

b. Trace la gráfica de la función y determine el rango.

5.2 Dada la función por tramos

                              [pic 12]

a. Encuentre cada uno de los valores siguientes f(-1),f(0), f(1), f(2) y f(3)

b. Trace la gráfica de la función y determine el rango.

6. Encuentre el dominio de la función. Justifique su respuesta.

[pic 13]                                                                                   

[pic 14] 

7. La relación entre temperatura Fahrenheit F y la temperatura Celsius C está dado por

[pic 15]

Si la temperatura un día dado va de un bajo de 70°F a un alto de 90°F.¿Cuál es el rango de temperatura en grados Celcius?

Estimados párvulos, veamos cómo pensamos un changarrito. Sabes qué es un changarro? Bueno excelente, sigamos en la lucha. Por cierto asita a la lucha libre.

8. (Función de costo) Una empresa que fabrica radio-receptores tiene costos fijos de $30000 y el costo de mano de obra y del material es de $150 por radio. Determine la función de costo, es decir, el costo total como una función del número de radios producidos. Si cada radio receptor se vende por $250, encuentre la función de ingresos y la función de utilidades. Trace la función de Costo, Ingreso y Utilidad.

9. El azúcar tiene un costo de $25 para cantidades hasta de 50 libras y de $20 por libra en el caso de cantidades por encima de las 50 libras. Si C(x) denota el costo de x libras de azúcar, exprese C(x) por medio de expresiones algebraicas apropiadas y bosqueje su gráfica.

10. Un edificio de departamentos tiene 70 habitaciones que puede rentar en su totalidad si la renta se fija en $2000 al mes. Por cada incremento de $50 en la renta, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de rentarla. Exprese el ingreso mensual total I=I(x) como función del número de incrementos de $50 en la renta.

11. La ecuación de demanda del producto de una compañía es 2p + 3x = 16, donde x unidades pueden venderse al precio de $p cada una. Si el costo de producir x unidades es de (100+2x) pesos, exprese la utilidad U como función de

a. La demanda x                                    b. El precio p  

12. Bosqueje la gráfica de las funciones cuadráticas, usando las intersecciones con los ejes coordenados, posición del vértice y dirección hacia donde abre. Estúdiale a las propiedades y características de las funciones cuadráticas.

[pic 16]         [pic 17]   

[pic 18]         [pic 19]   

13. (Si de lana se trata…) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por [pic 20]pesos. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximizar la utilidad. ¿Cuál es esta utilidad máxima?

14. Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $25.

a. Determine la función de costo.

b. El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por [pic 21].Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo maximicen el ingreso. ¿Cuál es este ingreso máximo?

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