Propagación de ondas mecánicas y aplicaciones de los ultrasonidos

PROPAGACIÓN DE ONDAS MECÁNICAS Y APLICACIONES DE LOS ULTRASONIDOS.

Eduardo Moreno Hernández

Centro de Ultrasónica

ICIMAF

La Habana, Cuba

Email:moreno@cidet.icmf.inf.cu

RESUMEN. El presente trabajo forma parte del curso “Transductores Ultrasónicos para medicina y Aplicaciones Industriales”

INTRODUCCIÓN.

Para conocer bien las aplicaciones de los equipos ultrasónicos, es necesarios tener una idea de los principios de propagación de ondas mecánicas, tanto en sólidos como en fluidos. En los siguientes tópicos de la primera parte, se expondrá en forma breve una introducción general al tema, basándose en elementos de la teoría de la elasticidad. Se hará hincapié en los aspectos físicos de la propagación de ondas, sobre todo en los que consideramos claves como los conceptos de velocidad de fase y de grupo. Se expondrán los distintos tipos de ondas que pueden generarse, sobre todo en sólidos, a partir de transductores ultrasónicos, pero sin tener en cuenta las características de radiación de los mismos.

En la segunda parte se hará un resumen de algunas de las aplicaciones médicos e industriales, donde se verán algunos diagramas en bloques de esos sistemas. Se dará una mayor participación en las técnicas de pulso.

Se asume que el lector tiene conceptos básicos de la mecánica de vibración, como son los conceptos de frecuencia, longitud de onda, etc.

Introducción a las Ondas Mecánicas.

¿Que es una Onda Mecánica?

Para responder a esta pregunta debemos recordar, los cursos básicos de mecánica. Si hacemos un análisis de cualquiera de estos veremos que la mecánica se desarrolla mas o menos así:

1- Mecánica de una partícula, donde solo tiene sentido la traslación. Aquí se comienza la cinemática y se introducen las tres leyes de Newton.

2- Mecánica de sistemas de partículas. Una extensión del caso anterior.

3- Mecánica del cuerpo rígido. Se introduce además de la traslación, la rotación con las leyes de Newton escritas en forma apropiada. Se define como rígido, el cuerpo que no se deforma.

4- Mecánica de la deformación. En general los cursos de mecánica básicos no incluyen esta parte. Se conoce mas bien, como teoría de la Elasticidad y es la base de la propagación de Ondas Mecánicas, sobre todo en cuerpos sólidos que son más complejos con relación a los fluidos (líquidos y gases).

Una vez ubicados en el contexto de la mecánica de deformación, veremos que magnitudes necesitamos conocer o definir.

Concepto de desplazamiento.

Este concepto es clásico de cualquier curso de mecánica. En la fig. 1 se muestra para el caso de una partícula.

u

Figura 1. Concepto de desplazamiento de un punto material.

Figura 2. Concepto de deformación. (u1 y u2).

En la fig. 2 se muestra en forma muy simple el concepto de deformación a partir del desplazamiento, tomando para esto dos puntos de un cuerpo, al cual consideramos no rígido. Si observamos, para que se deforme un cuerpo en su interior es necesario que partes del mismo se desplacen, pero en magnitudes diferentes. En esta figura se expone solamente un tipo de deformación llamada longitudinal, aunque existe la llamada deformación de cizalladura y combinaciones de ambas. Esta se verá mas adelantes cuando estudiemos las formas de propagación.

La magnitud que define matemáticamente la deformación se expresa como:

(1)

Para el caso longitudinal; en general es una magnitud tensorial, [KIN87] [LAN87]

Por otra parte la deformación es un efecto, cuya causa es una fuerza, expresada a través del concepto de esfuerzo o “stress” (T), que no es mas que la componente de la fuerza por unidad de área que actúa sobre una de las caras de un elemento de volumen deformable en el cuerpo. Esta relación causa - efecto se conoce como ley de Hooke, expuesta en forma "ampliada" en las ecuaciones constitutivas de la piezoelectricidad.

T= c S (2)

Esto en realidad es una relación entre tensores. La magnitud c es la que define las características elásticas de un material.

Una vez que tenemos las definiciones básicas, podemos definir una onda mecánica como la propagación de una deformación (también se utiliza el término perturbación) en un medio elástico. Como hay una relación entre deformación y esfuerzo, también se puede considerar como una propagación de esfuerzos.

Existe una división según el rango de frecuencia para clasificar las ondas mecánicas, basada en la capacidad de oír que tenemos los seres humanos. Las ondas mecánicas con frecuencia superior a 15 KHz, se clasifican como ondas ultrasónicas. En la práctica muchos autores colocan el límite en 20 KHz. Se llama infrasonido a las ondas mecánicas cuya frecuencia es inferior a 20 Hz. Queda por tanto el sonido ubicado formalmente entre 20 Hz y 20 KHz, que es lo que puede percibir el oído humano aproximadamente.

VELOCIDAD DE UNA ONDA. VELOCIDAD DE FASE Y DE GRUPO.

Constantemente en las aplicaciones de los ultrasonidos se maneja el término de velocidad, como una magnitud que depende de las características elásticas del medio y que por tanto permite evaluarlos. El concepto de velocidad es fundamental en las aplicaciones de defectoscopía, como mediciones de espesores, resistencia de materiales de la construcción y también en la medicina. Para las aplicaciones de pulso - eco y pulso - transmisión es necesario conocer las dos definiciones de velocidad, nos referimos a los conceptos de velocidad de fase y velocidad de grupo.

La propagación de un caso muy simple de onda plana, puede expresarse por la ecuación:

(3)

.

donde =2f es la frecuencia angular, y k=2/, es el llamado vector de onda, definido a través de la longitud de onda  Esta solución que refleja la propagación de una onda continua de frecuencia única (propagación armónica), permite definir la velocidad de fase:

(4)

Que significa la propagación de un punto de fase constante, como se muestra en la fig. 3. A diferencia del clásico concepto de velocidad que tenemos de la mecánica, donde medimos el tiempo transcurrido durante la traslación de un cuerpo de una posición a otra, la velocidad de fase considera la traslación de un punto de la onda, no de la onda en si, pues la misma es de extensión infinita. Quiere decir que si consideramos dos transductores (emisor y receptor), ambos estarán conectados en forma continua por dicha onda. Esto es muy diferente al caso de un pulso, que sale de un emisor y llega a un receptor; donde se podría tener una analogía más cercana a la traslación de un cuerpo en mecánica. Para este segundo caso debemos definir el concepto de velocidad de grupo dado por:

(5)

Figura 3. Velocidad de fase.

En muchos cursos de propagación de ondas, la velocidad de grupo se asocia al fenómeno de modulación, usado ampliamente en la transmisión de ondas de radio. Se considera que a partir de una portadora infinita, la velocidad de grupo es la velocidad con que viaja la información. Este enfoque, aunque válido no es muy adecuado para los ultrasonidos porque se trabaja frecuentemente (en muchas aplicaciones medicas/industriales) con pulsos. Veamos por tanto que ocurre con las velocidades de fase y de grupo de los ultrasonidos. Para esto debemos recordar la relación entre ambas velocidades.

(6)

La relación (6) lleva intrínseco el concepto de dispersión (no confundir con “scattering” del inglés). Si examinamos la expresión anterior veremos que ambas velocidades son iguales si C es independiente de , o de la frecuencia, que es lo mismo. Existen situaciones, que veremos mas adelante, donde se pueden excitar ondas mecánicas continuas o de pulso y no se cumple esta relación, por tanto ambas velocidades dependerán de la frecuencia y serán diferentes. Este fenómeno es la llamada dispersión, que se refiere a la dependencia de la velocidad de fase (y de grupo) con la frecuencia. El origen, como veremos, se debe a las características geométricas del material o a las propiedades no elásticas del mismo, y reciben el nombre de dispersión geométrica o viscoelástica según sea el caso.

Un pulso, por tanto ¿a qué velocidad de se propaga?. Consideremos primero un pulso estrecho en el tiempo. Tomando un centroide del mismo, podemos decir que este lugar geométrico, se propaga a la velocidad de grupo. ¿Cómo se explica la velocidad de fase?. Para esto recordemos la teoría de Fourier, donde un pulso puede descomponerse en armónicos, tal como se expresa en la clásica ecuación siguiente (transformada de Fourier).

(7)

Como vemos algo que existe limitado en el tiempo (y por tanto en el espacio) o sea de extensión

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