¿Qué es una estructura algebraica? Monoides

¿Qué es una estructura algebraica? Monoides

Nivel: Básico (Prepa+)

Requisitos: Uso del lenguaje algebraico

Introducción

Una estructura algebraica es un conjunto X dotado de una o variasoperaciones (funciones f : X × X → X ) que satisfacen ciertas propiedades. En esta lección analizaremos ejemplos de monoides conmutativos, la cual es una de las estructuras algebraicas más básicas.

Desarrollo

Hay ciertos conjuntos de números con los cuales trabajamos desde siempre, comenzando por los números naturales N={0,1,2,3,4, . . .}cuyo uso primordial es enumerar, contar objetos (costales, amigos, pesos mexicanos, horas...)

¿Cuáles son las operaciones básicas que se pueden efectuar en N? Una primera respuesta nos remite a las cuatro operaciones aritmeticas básicas de la primaria: adición, resta, multiplicación y división. Aqui estaremos interesados en las propiedades de la primera operación; ¡analicémoslas!

La adición (símbolo: +) en N es una operación que satisface (si no lo recuerdas, verifícalo):

1. Asociatividad: (a+b)+c=a+(b+c)
2. Conmutatividad: a+b=b+a
3. Elemento neutro: el 0 cumple que a+0=a

Con estas propiedades, la pareja (N, +) que consta del conjunto de los números naturales con la operación adición, es un ejemplo demonoide conmutativo, vaya nombre para algo tan sencillo, ¿no crées?

Definición [Monoide]: Un conjunto M con una operación * : M × M→ M (denotada como a*b) que es asociativa y tiene elemento neutro. Si además la operacion es conmutativa, se le conoce entonces como un monoide conmutativo.

Ejemplo (Geometría)
¿Podremos dar otro ejemplo de monoide? Consideremos el cuadradoABCD:

[pic 1]Figura 1

Nuestro conjunto M consistirá de las cuatro rotaciones ilustradas a continuación:

[pic 2]Figura 2.

Esto es, M={a,b,c,d} (¡no {A,B,C,D}, que son los vértices de nuestro cuadrado!). Ahora necesitamos dotar a M de una operacion, es decir, asociarle de manera única una rotación a cada pareja de elementos enM. La operación será la composición de rotaciones (es decir, aplicar primero la de la derecha y después la otra), y la denotaremos por el simbolo *.

Por ejemplo, b*c=d, pues observa que c rota el cuadrado en 180° ydespues b lo rota en 270°, lo cual equivale a rotarlo en 90°, esto es, equivale a aplicar d. Tu mismo puedes calcular el resultado de operar dos rotaciones, te sugerimos un método: en una hoja de papel reproduce el cuadrado de la Figura 1, recórtalo y comienza a rotarlo la cantidad de grados que indique el elemento de M, observa que el resultado final de la composición es simplemente la letra minúscula que corresponde al vértice ubicado en la esquina superior-derecha.

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