Estructuras Algebraicas

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Prof. Hugo Omar Pajello

Una Estructura Algebraica es un objeto matemático consistente en un conjunto no vacío y una relación ó ley de composición interna definida en él.

En algunos casos más complicados puede definirse más de una ley de composición interna y también leyes de composición externa.

Empecemos por recordar algunas definiciones:

Operación binaria ó Ley de composición interna definida en un conjunto no vacío A

Es una aplicación o función del producto cartesiano de en

En símbolos: es una ley interna en

Es decir

Ejemplo 1

La suma ó la multiplicación en N , en Z , en Q , en R ó en C.

Ejemplo 2

Las siguientes tablas definen leyes de composición interna en el conjunto

A = {a , b , c }

a b c

a a b c

b b c a

c c a b

i)

a b c

a a b b

b c a c

c b c a

ii)

Ley de composición externa

Una ley de composición externa definida en A con operadores de B es toda función ó aplicación de en A.

En símbolos

es ley externa en A con operadores en B A

es decir, si y la imagen del par (b ; a) = b a A

Según las propiedades que deban satisfacer estas leyes de composición, se tienen los distintos tipos de estructuras ó sistemas axiomáticos.

Monoide

El par (A , ) donde A es un conjunto no vacío dotado de una operación ó ley de composición interna se denomina monoide.

Ejemplos de monoides

( N , + ) , ( Z , + ) , ( Q , + ) , son monoides.

( N , - ) no es un monoide porque la sustracción no es ley de

composición interna en N.

( N , ) donde está definido como a b = máx.{a , b}

es un monoide.

Semigrupo

Un monoide asociativo se denomina semigrupo.

Si la ley de composición interna también es conmutativa se llama semigrupo conmutativo.

Si existe el elemento neutro se dice que es un semigrupo con unidad ó semigrupo con identidad.

El elemento neutro de llama identidad.

Ejemplos de semigrupos

( N , + ) es un semigrupo conmutativo sin elemento neutro.

( N0 , + ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro, el 0.

( N , ) es un semigrupo conmutativo con elemento neutro ó identidad

igual a 1.

Grupo

Sea el par (A , ) , donde A es un conjunto no vacío dotado de una ley de composición interna binaria :

(A , ) es un grupo ó se define sobre A una estructura de grupo sí:

a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir , /

Grupo Abeliano ó Grupo conmutativo es cuando además de ser un grupo,

d) es conmutativa. Es decir , : a, b A

Si G = (A , ) es un grupo, se dice que es un grupo finito si el conjunto A es finito y su cardinal se llama orden del grupo.

Ejemplos

1) El par ( Z , ) donde Z es el conjunto de los números enteros y es una operación definida como a b = a + b + 3 forma un grupo abeliano.

Comprobación:

es una ley de composición interna en Z pues si a y b Z , a + b + 3 Z

es asociativa pues

= (a + b +3) c = a + b +3 + c +3 = a + b + c + 6

y = a (b + c + 3) = a + b + c + 3 + 3 = a + b + c + 6

tiene elemento neutro e = –3 , pues

, a e = a entonces a + e +3 = a e = –3

y e a = a entonces e + a + 3 = a e = –3

tiene inverso , en nuestro caso

= –3 = –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a derecha

= –3 luego a´ = – a – 6 es inverso a izquierda

es conmutativa pues = a + b + 3 = b + a + 3 =

Otros ejemplos:

1 ) ( Z , + ) ; ( Q , + ) ; ( R , + ) y ( C , + )

Son grupos abelianos .

También se llaman grupos aditivos debido a la operación aditiva.

2 ) ( N , + ) No es grupo. No tiene neutro ni inverso de cada elemento.

3 ) ( N0 , + ) No es grupo. Tiene neutro, el 0 , pero no tiene inverso

aditivo.

4 ) ( Q , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

5 ) ( R , ) No es grupo, el 0 no tiene inverso multiplicativo.

6 ) ( Q – { 0 } , ) y ( R – { 0 } , ) Son grupos.

Subgrupo

Un subconjunto no vacío B, del conjunto A es un subgrupo de ( A , ) si y solo sí ( B , ) es un grupo.

Por ejemplo, ( Z , + ) es un subgrupo de ( Q , + ).

Si en estas estructuras se introduce una nueva ley de composición interna con ciertas restricciones, se obtienen ternas ordenadas del tipo (A , , ) que también son estructuras algebraicas.

Estas nuevas estructuras son:

Anillo

Dados, un conjunto no vacío A y dos leyes de composición interna y , la terna ordenada (A , , ) tiene estructura de Anillo si y solo si

a) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A

b) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

c) Todo elemento de A es invertible en A respecto de .

Es decir , /

d) es conmutativa. Es decir , : a, b A

Estas 4 propiedades muestran que ( A , ) es un grupo abeliano.

e) es asociativa. Es decir , , : a, b, c A (a b) c = a ( b c)

Esta propiedad muestra que ( A , ) es un semigrupo.

f) distribuye doblemente sobre . Es decir, , , : a, b, c A

a (b c ) = ( a b ) (a c ) y (b c ) a = (b a ) ( c a )

Resumiendo podemos decir que:

(A , , ) es un Anillo sii (A , ) es un grupo abeliano ; ( A , ) es un semigrupo y la segunda operación distribuye sobre la primera.

Una aclaración oportuna

Como la operación es aditiva y la operación es multiplicativa, es común representarlas con los conocidos signos de la suma y el producto, pero en todos los casos deberá respetarse la definición que corresponde a cada operación.

Con esta aclaración debe quedar claro que ( A , + , ) representa una estructura algebraica, talvez un anillo, pero que la operación + y la operación no representan la suma y el producto conocido, salvo ello esté expresamente indicado.

Con igual margen de tolerancia en la interpretación de este tema, debemos decir que el elemento neutro de la operación aditiva se representa con 0 (cero) y el neutro de la operación multiplicativa con 1 (uno) sin que ellos sean necesariamente el 0 y 1 conocidos.

Si además

g) conmutativa. Es decir , : a, b A a b = b a

entonces tenemos un Anillo conmutativo.

h) posee elemento neutro en A. Es decir / , si

entonces tenemos un Anillo con identidad ó Anillo con unidad.

i) Todo elemento de A distinto de cero es invertible en A respecto de .

Es decir , a 0 , / a a´ = a´ a = e entonces se llama

Anillo de división.

Ejemplos

1.- ( N , + , ) con las operaciones conocidas no es un anillo, pues en N no

existe neutro para la adición.

2.- ( N0 , + , ) con las operaciones conocidas no es anillo, pues N0 carece de

inversos aditivos.

3.- ( Z , + , ) con las operaciones conocidas, es un

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