Estructura Algebraica

LEYES DE COMPOSICION

La ley de composición son dos tipos concretos de operación binaria que dan lugar a las distintas estructuras algebraicas.

Ley de composición interna:

Dado un conjunto A y una operación , que representaremos :

Por la que definimos una aplicación que a cada par ordenado (a,b) de A por A se le asigna un c de A.

Para todo par ordenado (a,b) en A por A, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se llama ley de composición interna, que también se denomina Operación interna

Ley de composición externa:

Dado dos conjunto A y B, y una operación , que representaremos :

Por la que definimos una aplicación que, a cada par ordenado (a, b) de A por B, le asigna un c de A.

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en A, tal que c es el resultado de operar a con b.

Se denomina ley de composición externa.

Del mismo modo también se considera ley de composición externas, que se denota: :

Donde a cada par de valores (a, b) de A por B se le asigna un valor c de B.

Para todo par ordenado (a,b) en A por B, se cumple que existe un único c en B, tal que c es el resultado de operar a con b.

También se denomina ley de composición externa.

ESTRUCTURAS: Una estructura algebraica es un objeto matemático formado por un conjunto no vacío combinado con una o varias leyes de composición interna, eventualmente completadas por un orden o una topología, el todo satisfaciendo un cierto número de axiomas.

MONOIDE: Un monoide es una estructura algebraica con una operación binaria, que es asociativa y un elemento neutro. Los monoides son estudiados en la teoría de grupos, ya que en realidad, son semigrupos con un elemento neutro.

Definición: Un monoide es una estructura algebraica en el conjunto , con la operación binaria interna: , expresado: , donde se cumplen las siguientes tres propiedades:

1. Operación interna: para cualesquiera dos elementos del conjunto A operados bajo , el resultado siempre pertenece al mismo semigrupo A. Es decir:

.

2. Asociatividad: para cualesquiera elementos del conjunto A no importa el orden en que se operen las parejas de elementos, mientras no se cambie el orden de los elementos (ver grupo abeliano), siempre dará el mismo resultado. Es decir:

3. Con Elemento neutro para todo elemento x que pertenezca al conjunto A, existe un elemento e de A, que cumple:

Se puede demostrar que el elemento neutro es único. En esencia, un monoide es un semigrupo con elemento neutro.

ESTRUCTURAS ESTABLES: La estabilidad estructural es una propiedad fundamental de un sistema dinámico que significa que el comportamiento cualitativo de las trayectorias no se ve afectada por C1 pequeñas perturbaciones. Ejemplos de tales propiedades cualitativas son los números de puntos fijos y órbitas periódicas (pero no sus períodos).

A diferencia de estabilidad de Lyapunov, que considera las perturbaciones de las condiciones iniciales para un sistema fijo, ofertas estabilidad estructural con perturbaciones del sistema mismo. Las variantes de este concepto se aplica a los sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, campos vectoriales en múltiples lisos y los flujos generados por ellos, y difeomorfismos.

SUBMONOIDES: Un subconjunto B de un monoide A es un submonoide de Asi es cerrado para el producto. Es evidente que entonces B es un monoide en simismo. Cada monoide A tiene a A mismo como submonoide y, si A es unitario,entonces el conjunto eque tiene como unico elemento a la unidad de A, tambiénes un submonoide de A. Estos son los llamados submonoides triviales de A. Unsubmonoide de A es propio si es distinto de A. Es fácil comprobar que la intersecciónde una familia arbitraria de submonoides de A es un submonoide de A.

RELACIONES COMPATIBLES CON UNA ESTRUCTURA

Relaciones

-.Sea A un conjunto cualquiera, una relación en A, es un subconjuntoR del producto cartesiano A × A.

Si el par (a, b) está en R, diremos que a esta relacionado con b, y lo denotamos por

a ∼ b, ´o aRb.

-.Una relación R sobre A, se dice que es de equivalencia, si satisfacelas tres condiciones

1. Reflexivaa ∼ a para todo a en A.Conjuntos y relaciones 7

2. Simétricaa ∼ b implica b ∼ a, para todos a y b en A.

3. TransitivaSi a ∼ b y b ∼ c, entonces a ∼ c, para todos a, b y c en A.

Para cada a en A, el conjunto[a] = {b ∈ A | b ∼ a}se llama la clase de equivalencia de a.

El conjunto formado por todas las clases de equivalencia, se lama Conjunto Cocientey se denota por A\ ∼.

Ejemplo 1. La relación de igualdad en el conjunto de los números enteros es, ciertamente una relación de equivalencia. En este caso, cada clase de equivalencia corresponde a un número entero.

Ejemplo 2. Sea A el conjunto de todas las rectas sobre el plano.

Entonces diremos quedos rectas L1 y L2 son equivalentes, si ellas son paralelas. Es fácil ver que la relaciónde paralelismo es de equivalencia. Cada clase de equivalencia de una recta L consiste detodas aquellas rectas que son paralelas a L. El conjunto cociente consiste en todas lasrectas que pasan por el origen.

-.Sean A y B dos conjuntos, una función de A en B, es una ley queasocia a cada elemento a de A, un único elemento b de B.

Usamos la letra f para indicar la función, o bien el símbolo f : A −→ B. El elemento b se llama la imagen de abajo la función f, y sería denotada por f(a).

.-Sea f : A −→ B una función y E un subconjunto de A, entonces laImagen de E bajo f es el conjuntof(E) = {b ∈ B | b = f(c), para algún c en E}.

Es claro que f(E) es un subconjunto de B.

.-Sea f : A −→ B una función y G es un subconjunto de B, la imageninversa de G bajo f es el conjuntof−1(G) = {d ∈ A | f(d) ∈ G}.

.-Una función f : A −→ B se dice Inyectiva si para todo b en B,f−1({b}) posee a lo sumo un elemento.

Observación: Otra forma de definir la inyectividad de una función es la siguiente: Sicada vez que tengamos un par de elementos a y b en A, entonces si estos elementos son diferentes, sus imagenes deben ser diferentes.

Ejemplo 1.2.1 La función F : N :−→ N, donde N denota al conjunto de los númerosnaturales, dada por F (n) = 2n, es inyectiva.

.- Sea f : A −→ B una función. Diremos que f es Sobreyectiva sif(A) = B.

Observación: El conjunto imagen de A, se llama también el rango de la función.

Luego f es sobreyectiva si su rango es igual al conjunto de llegada.

Definición 1.2.8 Una función f : A −→ B se dice biyectiva si f es inyectiva y sobre-yectiva.

-.Dos conjuntos A y B se dice que tienen la misma Cardinalidad, oque son Equipotentes, si existe una función biyectiva:

f : A −→ BDenotaremos por In, al conjunto de los primeros n números naturales, esto es

In = {1, 2, • • • n.}

Diremos que el conjunto A es un Conjunto infinito de cardinalidad n, o que A tienen elementos, si existe una función biyectivaf : In −→ A

Diremos que el conjunto B tiene cardinalidad infinita, o es infinito, si existe una funcióninyectiva

f : N −→ B

Es decir, todo conjunto infinito contiene una ¸copia de los números naturales.

Se puede demostrar fácilmente, que la relación de equipotencia, entre conjuntos es una relación de equivalencia. En este caso, para indicar la clase de equivalencia del conjunto In, usamos el número n.Conjuntos y relaciones 9.

-.Sean A y B dos conjuntos. Una operación binaria sobre el conjuntoA, con valores en B, es una funcion g : A × A −→ B.

La imagen del elemento (a, b) bajo la función g se denota por a ∗ b.

Ejemplos de operaciones binarias son la suma y producto de números enteros. Tambiénse pueden definir operaciones en forma arbitraria. Por ejemplo, si N es el conjunto de números naturales, podemos construir la operación

∗ : N × N −→ N

(a, b) −→ a ∗ b = ab + 1

ESTRUCTURAS DE SEMIGRUPOS, ANILLOS, CUERPOS Y SEMICUERPOS

SEMIGRUPOS: Un semigrupo es una estructura algebraica de la forma (A,+) donde A es un conjunto y + es una operación binaria, cerrada y asociativa. Si además + es una op. conmutativa, se dice que es un semigrupo conmutativo. Es común que en lugar del signo de suma aparezca el signo del producto

Esta definición es bastante amplia: los grupos y los monoides son en particular semigrupos.

GRUPOS: Un grupo es una estructura algebraica que consta de un conjunto con una operación que combina cualquier pareja de sus elementos para formar un tercer elemento. Para que se pueda calificar como un grupo, el conjunto y la operación deben satisfacer algunas condiciones llamadas axiomas de grupo, estas condiciones son: tener la propiedad asociativa, tener elemento identidad y elemento inverso. Mientras que estas características son familiares a muchas estructuras matemáticas, como los diferentes sistemas de números (por ejemplo los enteros dotados de la operación de adición forman una estructura de grupo), la formulación de los axiomas se separa de la naturaleza concreta del grupo y su funcionamiento.

En álgebra abstracta, la teoría de grupos estudia las estructuras algebraicas conocidas como grupos. Sus objetivos son, entre otros, la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera

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