RESISTENCIA DE LOS MATERIALES:ESFUERZOS EN VIGAS.

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Los inicios de la teoría de vigas se remontan al siglo XVIII, trabajos que fueron iniciados por Leonhard Euler y Daniel Bernoulli. Para el estudio de vigas se considera un sistema decoordenadas en que el eje X es siempre tangente al eje baricéntrico de la viga, y los ejes Y y Z coincidan con los ejes principales de inercia. Los supuestos básicos de la teoría de vigas para la flexión simple de una viga que flecte en el plano XY son:1.

Hipótesis de comportamiento elástico. El material de la viga es elástico lineal, conmódulo de Young E y coeficiente de Poisson despreciable.2.

Hipótesis de la flecha vertical. En cada punto el desplazamiento vertical sólo dependede x: u

y

(x, y) = w(x).3.

Hipótesis de la fibra neutra. Los puntos de la fibra neutra sólo sufren desplazamientovertical y giro: u

x

(x, 0) = 0.4.

La tensión perpendicular a la fibra neutra se anula: 

yy

= 0.5.

Hipótesis de Bernouilli. Las secciones planas inicialmente perpendiculares al eje de laviga, siguen siendo perpendiculares al eje de la viga una vez curvado.Las hipótesis (1)-(4) juntas definen la teoría de vigas de Timoshenko. La teoría de Euler-Bernouilli es una simplificación de la teoría anterior, al aceptarse la última hipótesis comoexacta (cuando en vigas reales es sólo aproximadamente cierta). El conjunto de hipótesis (1)-(5) lleva a la siguiente hipótesis cinemática sobre los desplazamientos:



Deformaciones y tensiones en vigas:

Si se calculan las componentes del tensor de deformaciones a partir de estosdesplazamientos se llega a: A partir de estas deformaciones se pueden obtener las tensiones usando las ecuaciones deLamé-Hooke, asumiendo 

yy

= 0,

zz

= 0:Donde E es el módulo de elasticidad longitudinal, o módulo de Young, y G el módulo deelasticidad transversal. Es claro que la teoría de Euler-Bernoulli es incapaz de aproximar laenergía de deformacion tangencial, para tal fin debera recurrirse a la teoría de Timoshenko enla cual:

4



Esfuerzos internos en vigas:

a partir de los resultados anteriores y de las ecuaciones de equivalencia pueden obtenersesencillamente el esfuerzo normal, el esfuerzo cortante y el momento flector al que estásometida una sección de una viga sometida a flexión simple en la teoría de Euler-Bernouilli:Donde: A área de la sección transversal, I

z

el momento de inercia según el eje respecto al cual se produce la flexión. La última de estas ecuaciones es precisamente la ecuación de la curvaelástica, una de las ecuaciones básicas de la teoría de vigas que relaciona los esfuerzosinternos con el campo de desplazamientos verticales.



Ecuaciones de equilibrio:

Las ecuaciones de equilibrio para una viga son la aplicación de las ecuaciones de la estática aun tramo de viga en equilibrio. Las fuerzas que intervienen sobre el tramo serían la cargaexterior aplicada sobre la viga y las fuerzas cortantes actuantes sobre las secciones extremasque delimitan el tramo. Si el tramo está en equilibrio eso implica que la suma de fuerzasverticales debe ser cero, y además la suma de momentos de fuerza a la fibra neutra debe ser cero en la dirección tangente a la fibra neutra. Estas dos condiciones sólo se pueden cumplir si la variación de esfuerzo cortante y momento flector están relacionada con la carga vertical por unidad de longitud mediante:



Cálculo de tensiones en vigas:

El cálculo de tensiones en vigas generalmente requiere conocer la variación de los esfuerzosinternos y a partir de ellos aplicar la fórmula adecuada según la viga esté sometida a

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