Resuelva los siguientes problemas sobre límites

Actividades de aprendizaje

Actividad de aprendizaje 1.1.

1. Resuelva los siguientes problemas sobre límites.

1. Utilice la gráfica de f para estimar cada límite, si es que existe.

(a)               (b)                 (c)  [pic 1][pic 2][pic 3]

[pic 4]

1. [pic 5]

Cuando  , por la izquierda (x<1), los valores de f(x) se acercan a 1.[pic 6]

Cuando  , por la derecha (x>1), los valores de f(x) se acercan a 1.[pic 7]

Por lo tanto:        [pic 8]

1. [pic 9]

Cuando  , por la izquierda (x<1), los valores de f(x) se acercan a 1.[pic 10]

Cuando  , por la derecha (x>1), los valores de f(x) se acercan a 2.[pic 11]

Por lo tanto, cuando  , los valores de la función no se acercan a un solo número y se concluye que:[pic 12]

[pic 13]

1. [pic 14]

Cuando  , por la izquierda (x<2), los valores de f(x) se acercan a 3.[pic 15]

Cuando  , por la derecha (x>2), los valores de f(x) se acercan a 3.[pic 16]

Por lo tanto:        [pic 17]

b)         Use una calculadora para evaluar  para valores de x = 0,9, 0,99, 0,999 y 0,9999 y para x = 1,1, 1,01, 1,001 y 1,0001. Pruebe que  . ¿Se acercan los valores calculados a este límite? [pic 18][pic 19]

        De acuerdo a la tabla y con los valores obtenidos para f(x) podemos ver que el [pic 20]

        Verifiquemos este resultado:

[pic 21]

[pic 22]

Entonces:

[pic 23]

[pic 24]

32) Evalúe el límite [pic 25]

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

2.         Del capítulo 10, Problemas 10.2 (p. 475-476), realice los problemas 25, 56, 62, 63.

Encuentre los límites indicados. Si no existen, especifique o utilice el símbolo ∞ o -∞ donde sea apropiado.

25) [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

[pic 32]

56)                                  2 – x   si x ≤ 3

                f(x) =            

    -1 + 3x –x2   si x > 3

(a)          (b)         (c)          (d)          (e)  [pic 33][pic 34][pic 35][pic 36][pic 37]

1. [pic 38]

Solución: Aquí x se acerca a 3 por la derecha.

Para x > 3, se tiene f(x) = -1 + 3x –x2

        Por lo que:

[pic 39]

1. [pic 40]

Solución: Aquí x se acerca a 3 por la izquierda.

Para x ≤ 3, se tiene f(x) = 2 - x

        Por lo que:

[pic 41]

(c)  [pic 42]

Solución: Se quiere encontrar el límite cuando x se aproxima a 3. Sin embargo de la regla de la función dependerá si x > 3 o  x ≤ 3. Así, deben considerarse los límites unilaterales. El límite cuando x se aproxima a 3 existirá si y sólo si ambos límites unilaterales existen y son iguales. De los literales (a) y (b),

 porque -7 ≠-1[pic 43]

        Por lo tanto,

[pic 44]

(d)  [pic 45]

Solución: Para valores muy grandes de x, se tiene x > 3 y f(x) = -1 + 3x –x2

        Por lo que:

[pic 46]

(e)  [pic 47]

Solución: Para valores muy grandes de x, se tiene x ≤ 3 y f(x) = 2 - x

        Por lo que:

[pic 48]

62)         Demuestre que  (Sugerencia: Racionalice el numerador al multiplicar la expresión [pic 49][pic 50]

[pic 51]

[pic 52]

[pic 53]

63)        Relación huésped-parásito Para una relación particular huésped-parásito, se determinó que cuando la densidad del huésped (número de huéspedes por unidad de área) es x, el número de huéspedes parasitados en cierto periodo es  . Si la densidad del huésped aumentara indefinidamente, ¿a qué valor se aproximaría y? [pic 54]

[pic 55]

Actividad de aprendizaje 1.2.

1.         Del capítulo 10, Problemas 10.3 (p. 481-482), realice los problemas 3, 9, 23, 33.

Utilice la definición de continuidad para demostrar que la función dada es continua en el punto indicado.

3) [pic 56]

El valor de x=0 está en el domino de g.

[pic 57]

[pic 58]

[pic 59]

        Por lo tanto, g(x) ES CONTINUA en x = 0

11) Determine si la función es continua en los puntos dados.

[pic 60]

Para los valores 3, -3, el denominador x2 - 9 = 0, por lo tanto la función g(x) ES DISCONTINUA para estos puntos.

Encuentre todos los puntos de discontinuidad.

23) [pic 61]

        Esta función racional tiene denominador x2 + 2x – 15 = (x + 5)(x -3), que es 0 cuando:

x = -5   o    x = 3.

        Por lo tanto, f ES DISCONTINUA en -5 y 3.

[pic 62]

33)                 x2 +1   si x >2

  f(x)

             8x  si x < 2

        f no está definida en x = 2, por lo tanto ES DISCONTINUA en 2

                                [pic 63][pic 64]

[pic 65]

2.         Del capítulo 10, Problemas 10.4 (p. 486), realice los problemas 11 y 24.

Resuelva las desigualdades por medio de la técnica estudiada en esta sección.

11) –x(x – 5)(x + 4) > 0

Si f(x) = –x(x – 5)(x + 4), entonces f es una función polinomial y es continua en todas partes. Las raíces de f son 0, 5 y -4, que determinan cuatro intervalos:

(-∞, -4)  (-4, 0)  (0, 5)  (5, ∞)

Ahora, en un punto de prueba en cada intervalo se determina el signo de f(x).

                signo (f(-5)) = (-)(-)(-)(-) = +                así que f(x) > 0 en (-∞, -4)

                signo (f(-3)) = (-)(-)(-)(+) = -         así que f(x) < 0 en (-4, 0)

...