Resumen De Las Clases De Analisis Numericos

RESUMEN DE LAS CLASES DE

ANÁLISIS NUMÉRICO

Índice general

Prólogo v

1. Errores en los métodos numéricos 1

1.1. Una definición de Análisis Numérico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. El concepto y las fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.2. Concepto de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.3. Fuentes de error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4. Propiedades de los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.5. Errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1. Error inherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.2. Error de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5.3. Error de truncamiento/discretización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5.4. Errores por «overflow» y «underflow» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6. Propagación de errores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.1. Propagación del error inherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6.2. Propagación del error de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.6.3. Propagación de los errores inherentes y de redondeo . . . . . . . . . . . . 16

1.7. Gráfica de proceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.8. Perturbaciones experimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.1. Estimación del número de condición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8.2. Estimación del término de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.9. Inestabilidad en los algoritmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.1. Cancelación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.9.2. Acumulación del error de redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.9.3. Aumento de la precisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.10. Diseño de algoritmos estables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2. Sistemas de Ecuaciones Lineales 25

2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3. Matrices triangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4. Eliminación de Gauss y sustitución inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5. Factorización LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.6. Método de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.1. Matrices simétricas y definidas positivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.6.2. Algoritmo de Cholesky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.7. Condición de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.8. Refinamiento iterativo de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.9. Errores de los métodos directos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

i

ÍNDICE GENERAL Análisis Numérico I

2.10. Métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.10.1. Métodos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.10.2. Convergencia de los métodos estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.10.3. Métodos no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.10.4. Convergencia de los métodos no estacionarios . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.10.5. Aspectos computacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.11. Errores de los métodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.12. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3. Ecuaciones no Lineales 57

3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2. Método de la bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.3. Método de la falsa posición o «regula falsi» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4. Método de las aproximaciones sucesivas o punto fijo . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.6. Análisis del error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.7. Métodos de convergencia acelerada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.8. Método de Steffensen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.9. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4. Interpolación de curvas 69

4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2. Método de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.3. Método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.4. Interpolación baricéntrica de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.5. Interpolación de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.6. Interpolación por «splines» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.7. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5. Mejor aproximación y ajuste de funciones 87

5.1. Mejor aproximación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.1.2. Error y normas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

5.1.3. Método de los cuadrados mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.2. Ajuste de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.2. Aproximación por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.2.3. Polinomios de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

5.3. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6. Diferenciación e integración numérica 99

6.1. Diferenciación numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.1. Diferencias progresivas, regresivas y centradas . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.1.2. Aproximación por polinomios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.1.3. Extrapolación de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.1.4. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6.2. Integración numérica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.1. Fórmulas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

6.2.2. Fórmulas cerradas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

6.2.3. Fórmulas abiertas de Newton-Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

6.2.4. Cuadratura de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

6.2.5. Integrales múltiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

- ii - PRELIMINAR Curso 008

Análisis Numérico I Índice general

6.3. Notas finales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7. Ecuaciones diferenciales ordinarias 125

7.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias con valores iniciales . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

7.1.2. Condición de Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

7.1.3. Problema bien planteado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.4. Métodos de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.5. Métodos de Taylor de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.1.6. Métodos de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.1.7. Métodos de paso múltiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias con valores de contorno . . . . . . . . . . . . . 135

7.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.2.2. Método del tiro

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