SISTEMAS AXIOMATIVOS Y LA REV. DARWINIANA

SISTEMAS AXIOMATICOS:

¿Cómo se organiza el conocimiento?

Para Aristóteles (384-322 a.C) la CIENCIA es un conjunto de afirmaciones –generales, verdaderas y articuladas entre si- sobre un determinado objeto. Dentro de este conjunto, encontramos una serie de principios, es decir, enunciados de los que no se exige demostración (verdades evidentes) y a partir de los cuales se deduce el resto.

HABLEMOS DE GEOMETRIA

Tales de Mileto (585-545 a.C, anterior a Aristóteles) fue uno de los primeros en introducir métodos deductivos en la geometría. Su principal aporte no fueron los resultados sino las demostraciones.

Euclides (367- 283 a.C) es el primero en sistematizar los conocimientos geométricos adscribiendo a la concepción aristotélica de ciencia. Distingue entre tres tipos de principios:

● Postulados (referidos a una ciencia particular);

●Nociones comunes (cuestiones generales aplicables a distintos ámbitos);

●Definiciones (especificación de términos).

De los postulados y las nociones comunes se deducen proposiciones (enunciados verdaderos y universales) a partir de la aplicación de reglas de inferencia (aunque estas no son explicitadas por Euclides)

GEOMETRIA EUCLIDIANA

La geometría propuesta por Euclides consta de cinco postulados:

1° Desde un punto a otro siempre se puede trazar una recta.

2° Una recta se puede prolongar indefinidamente en cualquiera de sus dos direcciones.

3° Dado un punto y un segmento, se puede construir un círculo que tenga a ese punto como centro y a ese segmento como radio.

4° Los ángulos rectos son iguales entre sí.

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5° Si una línea recta corta a otras dos rectas de una manera que la suma de los ángulos interiores de un mismo lado sea menos que dos ángulos rectos, entonces dichas rectas, prolongadas suficientemente, se cortaran del mismo lado de la primeria línea recta en que se encuentran aquellos ángulos cuya suma es menos que dos rectos.

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El quinto postulado resulta mucho menos evidente que los otros cuatro. Esto suscito las sospechas de que, en realidad, no se trataba de un postulado (o axioma) sino de una proposición (o teorema). Durante siglos se intentó demostrar la dependencia del quinto postulado sin éxito.

EL ESCANDALO DE LAS PARALELAS

Saccheri (1167-1733) intento demostrar este postulado apelando a la reducción al absurdo, partiendo de los primeros cuatro y la negación del quinto. Si efectivamente el quinto postulado no era independiente, entonces al introducir su negación surgiría una contradicción.

Si bien Saccheri trabajo con la formulación originar de Euclides, aquí se empleara la versión alternativa de esta propuesta por Playfair (1748-1819): “por un punto exterior a una recta, puede trazarse una única paralela a dicha recta”.

[pic 3]

GEOMETRIAS NO EUCLIDIANAS

¿En qué consistiría negar el quinto postulado? En afirmar alguno de estos dos:

1. “por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela”.

1. “por un punto exterior a una recta, pasa más de una paralela”.

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Cuando Saccheri intento demostrar el quinto postulado por el absurdo, la negación A lo llevo a la contradicción esperada, pero la negación B no produjo ninguna contradicción, sino teoremas “extraños”, que más adelante dieron paso a las geometrías no euclidianas.

Gauss (1777-1855) pensó que, si el quinto postulado era efectivamente independiente como creía Euclides, entonces podría desarrollarse una geometría distinta reemplazando dicho postulado a la vez que se conservaban los otros cuatro. Con esa idea, sustituyo el quinto postulado euclidiano por el siguiente: “por un punto exterior a una recta, pueden trazarse infinitas paralelas a dicha recta” (una versión de la negación B de Saccheri: “por un punto exterior a una recta, pasa más de una paralela”). Trabajando con este nuevo sistema no arribo a ninguna contradicción. Además de Gauss, Bolyai (1802-1860) y Lovachevski (1792-1856) exploraron la hipótesis de las infinitas paralelas, aunque de los tres solo este último. Sus investigaciones dieron lugar a la GEOMETRIA HIPERBOLICA.

Riemman (1826-1866) exploro las consecuencias de la negación A de Saccheri (“por un punto exterior a una recta, no pasa ninguna paralela”), pero para evitar llegar a la contradicción a la que había arribado este, también introdujo una modificación en el segundo postulado: la recta ya no sería infinita sino cerrada. Sus trabajos dieron lugar a la GEOMETRIA ELIPTICA.

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