Simetria De Un Punto Respecto Al Plano XZ

Instrumento Práctica de Ejercicios

Estudiante: PEREZ CRUZ FERNANDO, RENDON CORTES MIRIAM YOSELIN Fecha: 14-12-13

Carrera: LIC. EN INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES Grupo: SC0101V

Asignatura: GEOMETRIA ANALITICA Unidad temática:

Docente: CESAR BEDOLLA GONZALEZ

I.- Ejercicios a resolver:

Graficar la simetría de un punto P(x, y ,z) respecto al plano x z

II.-Procedimientos y resultados:

A continuación se presenta la gráfica de la simetría de un punto P(x,y,z), respecto al plano XZ.

Definición.

Dos puntos A y A’ son simétricos respecto a un plano P, si el plano P es perpendicular al segmento AA’ en su punto medio.

Figuras simétricas.

Si a cada punto de una figura F se le hace corresponder su simétrico respecto al plano P, se obtiene una figura F’ que se llama transformada de F por simetría o simétrica de F respecto al plano P.

Plano.

Un plano en tres dimensiones es el lugar geométrico de los puntos, por los que un punto móvil se traslada de tal forma que el vector de él a un punto fijo de él es siempre perpendicular a un vector fijo llamado normal al plano.

Plano de simetría de una figura.

Una figura admite un plano de simetría cuando todos sus puntos son simétricos dos a dos respecto de dicho plano.

Ecuaciones paramétricas.

Dados dos puntos fijos la recta se describe por aquellos puntos que se mueven a lo largo del vector que describen esos dos puntos en dirección contraria.

La recta queda determinada por un punto fijo P0 y un vector ^v = a^i + b^j + c^k, el conjunto de los puntos P, tales que P0P es paralelo a ^v, es decir, que satisfacen

D(P0, P) = t^v para algún número real t.

Si r = OP y r0 = OP son los vectores de posición de P y P0, respectivamente, entonces:

ð P0P = t^v

ð P0P = r - r0

ð r = r0 + t^v (1)

Si escribimos r = (x, y ,z) y r0 = (x0, y0. z0) e igualamos los componentes en (1) tenemos,

x = x0 + at; y = y0 + bt ; z = z0 + ct

y éstas se denominan ecuaciones paramétricas.

Construcción de una superficie.

Construir una superficie es muy complicado, por ello se han diseñado otras estrategias para hacer la tarea más fácil, lo cual contempla seguir los siguientes puntos en la construcción de cualquier superficie:

 Verificar los interceptos con los ejes coordenados.

En las intercepciones con los ejes, los puntos tienen la forma en el plano X(x, 0 ,0) en el plano Y(0, y, 0) en el plano Z(0, 0, z), que como pertenecen a la ecuación de la superficie, satisfacen la misma, y al hacerlo, podemos encontraren valor de x,y,z

 Verificar las trazas.

Un razonamiento similar al de los interceptos nos lleva a encontrar las trazas de la superficie, que son las figuras que forma esa superficie cuando se intercepta con alguno de los ejes coordenados, entonces aquí buscamos ecuaciones sencillas. Los puntos de las trazas en los planos correspondientes tienen la siguiente expresión: en el plano XY(x, y, 0) en el plano XZ(x, 0, z) y en el plano YZ(0, y, z), que como pertenecen también a la superficie, deben satisfacer su ecuación, por lo que al sustituir cada uno de esto puntos en la ecuación de la superficie se determina la curva correspondiente (la ecuación) de la traza en sus planos respectivos.

 Verificar la simetría de la superficie.

Para verificar la simetría de una superficie nos ayudamos de la siguiente tabla que dice:

TABLA DE SIMETRIA.

Si la superficie no se altera cuando las variables x,y,z son reemplazadas por: La superficie es simétrica respecto a:

-x,y,z Plano

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