Sistema Numerico

Introducción

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

Se estudia el procedimiento de Runge-Kutta que se aplica de forma directa a una ecuación diferencial de primer orden, pero veremos cómo se extiende a un sistema de ecuaciones de primer orden, a un ecuación diferencial de segundo orden y a un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden.

El procedimiento de Runge-Kutta se puede programar fácilmente en los ordenadores y además, se emplea mucho en la práctica, debido a la su exactitud relativamente elevada de la solución aproximada de la ecuación diferencial. La justificación del procedimiento de Runge-Kutta no es sencilla, el lector interesado puede consultar algún libro de métodos numéricos de análisis.

Métodos

Método de aproximaciones sucesivas

El método de aproximaciones sucesivas consiste en generar funciones convergentes bajo un esquema iterativo partiendo de la función original, lo cual se soporta con el siguiente teorema:

Teorema de convergencia

La raíz de cualquier sub función extraída de una función f(x) obtenida por una iteración convergente, es también una raíz de f(x).

En este método se requiere de una regla, formula o sub función g(x), con la que se calculan los términos sucesivos junto con un valor de partida esto produce una sucesión de valores { } obtenida mediante el proceso iterativo .

Método de la Bisección

El método de la bisección o corte binario es un método de búsqueda incremental que divide el intervalo siempre en 2. Si la función cambia de signo sobre un intervalo, se evalúa el valor de la función en el punto medio. La posición de la raíz se determina situándola en el punto medio del subintervalo donde exista cambio de signo. El proceso se repite hasta mejorar la aproximación.

Pasos:

1. Elegir los valores iniciales Xa y Xb, de tal forma de que la función cambie de signo.

2. La primera aproximación a la raíz se determina con la fórmula del punto medio.

3. Realizar las siguientes evaluaciones para determinar el intervalo de la raíz.

4. Donde Xpm es el punto medio de la iteración actual y Xpm – 1 es el punto medio de la iteración anterior.

Método de regula falsi

En cálculo numérico, el método de regula falsi (regla del falso) o falsa posición es un método iterativo de resolución numérica de ecuaciones no lineales. El método combina el método de bisección y el método de la secante.

Como en el método de bisección, se parte de un intervalo inicial [a0,b0] con f(a0) y f(b0) de signos opuestos, lo que garantiza que en su interior hay al menos una raíz (véase Teorema de Bolzano). El algoritmo va obteniendo sucesivamente en cada paso un intervalo más pequeño [ak, bk] que sigue incluyendo una raíz de la función f.

Dicho punto es la intersección de la recta que pasa por (a,f(ak))

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