Superficies Cuádricas

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Superficies Cuádricas I

Pre-requÍSÍtOS.- Para la comprensión adecuada de este tema de superficies, se requiere de

los conocimientos previos de:

- Elementos de geometría plana: recta, circunferencia, cónicas, etc.

- Elementos de geometría del espacio: planos, secciones planas de un cuerpo, etc.

Objetivos.- Establecer los fundamentos necesarios para la intensificación de las técnicas

para el trazado de las superficies a partir de sus ecuaciones como

premisas así como también las curvas y regiones, para la utilizarlos en las diversas aplicaciones.

Al finalizar el estudio de este capítulo el alumno debe ser capaz de:

- Describir el procedimiento seguido en el trazado de las superficies.

- Reconocer la forma de la ecuación de las cuádricas centradas.

- Representar gráficamente las siguientes superficies: Elipsoide, Paraboloide, Hiperboloide

de una y dos hojas, Paraboloide Elíptico, Paraboloide hiperbólico.

- Identificar las ecuaciones de cilindros y conos.

- Determinar: la directriz, generatriz de los cilindros y conos.

- Representar gráficamente a los cilindros y conos.

2 Eduardo Espinoza Ramos

1.1 Introducción^

Analíticamente la ecuación E(x,y) = 0, nos representa un lugar geométrico en el plano XY, a la

ecuación E(x,y) = 0, extenderemos al espacio tridimensional, cuya ecuación rectangular en tres

variables representaremos por:

F ^ y » z ) = 0

También se conoce que todo plano se representa analíticamente por una única ecuación lineal

de la forma:

P: Ax + By + Cz + D = 0

De una manera más general, veremos si existe una representación analítica de una figura

geométrica, al cual denominaremos superficie, tal representación consistirá en una única

ecuación rectangular de la forma:

F(x,y,z) = 0 ... (1)

Por ejemplo, por medio de la distancia entre dos puntos se puede demostrar que la superficie

esférica de radio r con centro en el origen se representa analíticamente por la ecuación:

. ■ - u- i lí Jíj | [Bf| ■ '... - ■ ■ ’ : I'iínfiJ OÍT!1 o

2 2 2 2 x + y + z = r

i'.l....D e fin ic ió n .^

Llamaremos superficie al conjunto de puntos p(x,y,z) de R* que satisfacen una sola ecuación

de la forma:

F(x,y,z) = 0

La ecuación F(x,y,z) = 0, contiene tres variables, sin embargo la ecuación de una superficie

puede contener solamente una o dos variables.

Por ejemplo la ecuación x = k, k constante, representa un plano paralelo al plano YZ.

Superficies Cuádricas 3

. . , 2 "> . . . . De igual manera la ecuación x +y~ = 4 considerada en el espacio representa un cilindro

circular recto.

Toda ecuación de la forma F(x,y,z) = 0, no necesariamente representa una superficie, por

ejemplo la ecuación x 2 + y 2 + z2 + 9 = 0, no representa ningún lugar geométrico, además la

2 2 2 ecuación .v + y + z = 0 , tiene una solución real que es: x = y = z = 0, cuyo lugar

geométrico está constituido por un sólo punto, el origen.

¡1.3 Superficies Cuádricas^

Llamaremos superficies cuádricas a toda ecuación de segundo grado en las variables x,y,z que

tiene la forma: Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz +Gx + Hy + Kz+L = 0 donde A, B, C, D,

E, F, G, H, K son constantes, y por los menos una es diferente de cero.

4 Eduardo Espinoza Ramos

1.4 Discusión de la Gráfica de la Ecuación dé una Superficie.»]

Para construir la gráfica de una superficie consideremos la siguiente discusión, mediante los

pasos siguientes:

1) Intersección con los ejes coordenados.

2) Trazas sobre

...