TEORIA DE CONJUNTOS. SISTEMA DE CONJUNTOS

CAPITULO Nº1

SISTEMA DE CONJUNTOS

1.1 OBJETIVOS

Finalizada la unidad, se espera que el alumno esté en capacidad de.

• Obtener los datos o información básica y de ella deducir la información derivada, para la toma de decisiones, en un problema determinado.  
• Procesar los datos y la información derivada de un determinado universo, utilizando las leyes y operaciones de los conjuntos.
• Comprobar las leyes que rigen los conjuntos, utilizando para ello conjuntos determinados.
• Operar conjuntos para aplicarlos a problemas concretos de su especialidad.

1.2 INTRODUCCION

La teoría de conjuntos fue desarrollada a finales del siglo XIX y principios del  XX  por el matemático George Cantor (1845 – 1918), su objetivo era el de formalizar las matemáticas como ya había sucedido aproximadamente cien años antes con el cálculo;  la tarea fue iniciada mediante el análisis de las bases de las matemática y explicó todo fundamentándose en los conjuntos, lo cual permitió unificar las matemáticas y la comprensión de nuevos conceptos.

Las dificultades de la teoría de conjuntos comenzaron cuando aparecieron las paradojas, siendo seguramente la más célebre la de Russell y más tarde muchos matemáticos incluido el mismo Cantor encontraron nuevas paradojas, lo que realmente se consideró como un duro revés para la teoría de conjuntos y la unificación de la matemática con las consecuencias de la ramificación de la misma en áreas muy diferenciadas hasta el punto de pensar algunos si la matemática realmente era consistente.

La teoría de conjuntos es una teoría matemática, que estudia básicamente un cierto tipo de objetos llamados conjuntos y algunas veces, a otros objetos denominados no conjuntos, así como a los problemas relacionados con estos; de forma intuitiva los objetos de estudio de la teoría de conjuntos quedan descritos de la siguiente forma:  

 a) Si X no tiene elementos, entonces X es un objeto de la teoría de conjuntos.

 b) Si X es un conjunto, entonces X es un objeto de la teoría de conjuntos.

 c) Los únicos objetos de la teoría de conjuntos son los descritos anteriormente.

Las aplicaciones de la teoría de conjuntos son muy variadas, de tal forma que se presenta en nuestra vida cotidiana con mucha frecuencia; similarmente a  la geometría, está basada en una serie de términos no definidos o primitivos que serán relacionados seguidamente.

1. CONCEPTOS PRIMITIVOS

• CONJUNTO: Colección de cualquier tipo de objetos considerada como un todo, esto es, una multiplicidad vista como unidad. Es toda entidad completa bien determinada.

Los  objetos que forman el conjunto son llamados elementos o miembros del conjunto y se representan con letras minúsculas, además los conjuntos son representados con letras mayúsculas y gráficamente por curvas cerradas llamadas diagramas de Venn.

Ejemplo: El conjunto A cuyos elementos son las letras vocales se escribe como A = {a, e, i, o, u} y su representación gráfica es:         A [pic 2][pic 1]

• COLECCIÓN: Es una agrupación que está determinada por una propiedad enunciada por medio de un lenguaje preciso.

Observación: Es preciso señalar que todo conjunto es una colección de objetos, pero no toda colección  de objetos es un conjunto.

Ejemplo: Los cinco mejores barrios de Cartagena evidentemente forman una colección, pero no constituyen un conjunto por no estar bien determinados sus elementos.

• CLASE: Es una colección cuyos objetos son los objetos de la teoría de conjuntos. También es preciso aclarar que no toda clase es un conjunto, pero todo conjunto es una clase.

• RELACION DE PERTENENCIA: Un elemento pertenece a un conjunto si hace parte de su lista, se utiliza el símbolo ∈ y para indicar que no pertenece se usa ∉.

Ejemplo: Para el conjunto [pic 3] mostrado en el diagrama siguiente,  puede notarse que u∈A, pero m∉A.                             A[pic 4][pic 5]

1.4  AXIOMAS DE LA TEORIA DE CONJUNTOS

Aquí la teoría de conjuntos estará fundamentada en los siguientes tres importantes axiomas.

#1: Existe por lo menos un conjunto primitivo.

El conjunto primitivo mencionado en el axioma es conocido como conjunto universal o referencial, se denota con la letra  U y su representación gráfica es un rectángulo.

#2: Axioma de especificación: Si sobre un conjunto universal U se aplica una función proposicional Px, entonces aquellos elementos x de  U que hacen verdadera a Px determinan un nuevo conjunto.

Este axioma es importante por que permite construir nuevos conjuntos a partir del conjunto universal.

Ejemplo: Si  U= {1,2,3,4,5,6,7,8}, al aplicar  la función proposicional  Px = “x es un número impar”, se forma el conjunto A = {1,3,5,7}.

#3: Axioma de elección: Sean a,b,c,d elementos cualesquiera, entonces existe un único conjunto A tal que si “x” es un elemento cualesquiera de A se cumple que x = a  ó   x = b  ó  x = c  ó   x = d.

Este axioma arroja dos consecuencias importantísimas: Primera, en un conjunto no se repite elemento, esto es, si  A = {5, 5, 5, 5} entonces  A = {5}. Segunda, en un conjunto no importa el orden de sus elementos, esto es, los conjuntos  A = {1,3,5,7},  B = {7,5,1,3} y   C = {5,1,7,3} son iguales.

1.5 DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

Es el proceso que consiste en establecer con precisión si un elemento pertenece o no a un determinado conjunto, las formas de determinar un conjunto son la de extensión y la de comprensión.

► Extensión: Consiste en nombrar o escribir todos los elementos que forman el conjunto;  por ejemplo el conjunto  C = {5, 1, 7, 3} está determinado por extensión.

► Comprensión: Consiste en utilizar una función proposicional cuyo conjunto de verdad es el conjunto que se define. Cuando se da una propiedad que la cumplan todos los elementos.

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