Taller de matrices

Universidad Industrial de Santander Escuela de Matem´aticas

A´LGEBRA LINEAL I

TALLER DE MATRICES

1. Escriba la matriz B = 2 5 como combinaci´on lineal de A

= 1 2 y A

= 0 1

0 3 1

−1 1

2 2 1

2. Halle el conjunto generado por las matrices A = 1 0 , A

= 0 1 y A

= 1 −1

3. Determine si las matrices son linealmente independientes o linealmente dependientes

a) A

= 1 2 y A

= 4 3

b) A

= 1 5 , A

= −1 −2 y A

= 0 −3

0 −3 0 0

3 0 3

4. Encuentre una matriz B tal que AB = C, donde A = 5 0 3 4 y C = 6 5

−1 2 0 1 3 5

5. Si A = 1 1 y B = a b , encuentre las condiciones para a, b, c y d tal que AB = BA

6. Sean A = 2 2 y B = 2 −2 . Pruebe que A2 + B2 = (A + B)2

8 −2 4 −2

7. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta (Si es falsa, muestre un ejemplo donde no se cumpla)

a) La multiplicaci´on de dos matrices A y B solo se puede realizar si las matrices son cuadradas.

b) AB = BA cuando A y B son matrices cuadradas.

c) La multiplicaci´on de matrices A por B solo se puede realizar si el nu´mero de columnas de la matriz A es igual al nu´mero de filas de B

d) Si A2 = 0 entonces A = 0 es una matriz cuadrada tal que A2 = 0 entonces A = 0.

e) Si A y B son matrices cuadradas entonces (A + B)2 ≠

1 3 5

8. Dada la matriz A = 1 −3 −5 . Pruebe que A2 = A

−1 3 5

9. Si A es una matriz cuadrada, y k ∈ R, demuestre que:

a) kA es sim´etrica

b) AAT es sim´etrica

A2 + 2AB + B2

10. Si A y B son matrices de taman˜o nxn y sim´etricas, ¿Bajo qu´e condici´on AB es una matriz sim´etrica?

11. Si A y B son matrices de taman˜o nxn y sim´etricas, demuestre que:

a) A + B es sim´etrica

b) AB + BA es sim´etrica

c) ABA es sim´etrica

12. Determine si la matriz es invertible utilizando el teorema del determinante. Si la matriz es invertible, halle su inversa

a) A = 4 7

1 2

b) A = 1 4

2 8

c) A = 1 0

0 1

13. Resuelva la ecuaci´on matricial Ax = b encontrando A−1, donde A = 1 2 y b = −1

2 6 2

 1 −2 −9

14. Determine los valores de a ∈ R tales que la matriz A =

15. Responda cada ´ıtem:

−1 a 1

−1 2 a2

es invertible.

a) ¿Existe un espacio vectorial que tenga solo un elemento?

b) ¿Z2 es un espacio vectorial sobre Z2? ¿Cu´antos elementos tiene Z2?

c) ¿Existe un espacio vectorial que tenga 3 elementos?

d) ¿Z3 es un espacio vectorial sobre Z3? ¿Cu´antos elementos tiene Z3

e) ¿R es un espacio vectorial sobre Q? f) ¿Q es un espacio vectorial sobre R?

g) ¿Z es un espacio vectorial sobre R?

...