TALLERES DE MATRICES

1. Sea una matriz A ∈ Mn×n(R) nilpotente de índice p.

• r[pic 1]
• [pic 2]
• [pic 3]

• [pic 4]

A ∈ Mn×n(R) se dice que es nilpotente si existe R∈A tal que 𝑨𝑷=0 se llama índice de nilpotencia A o se dice que A es índice o de orden P y se define como min (R∈A/𝑨𝑷=0)

Si A es una matriz nilpotente de orden P, 𝑨𝑷=0

Luego: det (𝑨) 𝑷=0 por lo que det (A)=0[pic 5][pic 6]

El recíproco no es cierto: la matriz: r(A) = n

1. Sea la matriz [pic 7]

• r (A)=2
• r (A)=3
• r (A)=4

• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Para calcular el rango transformemos la matriz dada en una matriz escalonada, utilizando para ello operaciones elementales de filas y columnas de una matriz.

R2 - 2 R1 → R2 (multiplicamos la fila 1 por 2 y restamos a la fila 2); R3 - 5 R1 → R3 (multiplicamos la fila 1 por 5 y restamos a la fila 3.

[pic 8]

R3 / -19/15 → R3 (dividamos la fila {k} por -19/15)

[pic 9]

Resultado. Así que hay 3 filas no nulas, entonces Rank(A) = 3.

1. Sea una matriz cuadrada cuyo determinante es 2

• A es ortogonal.

• A es nilpotente.
• A es singular.
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Para una matriz de orden 2, su determinante se calcula:

[pic 10]

Cada producto tiene que estar formado por un elemento de la primera fila y un elemento de la segunda fila, pero al mismo tiempo tienen que ser un elemento de la primera columna y un elemento de la segunda.

1. Sean A y B matrices cuadradas de orden n

[pic 11]

• [pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

[pic 18]

[pic 19]

• [pic 20]
• [pic 21]
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

1. Sea A y B matrices cuadradas de orden  tales que  es regular, entonces:[pic 22][pic 23]

• [pic 24]
• [pic 25]
• [pic 26]
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

1.  Sea A ∈ Mn×n(R) tal que  In[pic 27]

• A es una matriz antisimétrica.
• A es matriz idempotente.
• A es una matriz regular.
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta

Ya que al ser la matriz antisimétrica cuando , la matriz idempotente al ser que  regular tiene como determinante un término que es distinto a 0[pic 28][pic 29]

1. Sea , ¿Podríamos afirmar que el rango de A es 3 independiente del valor del parámetro real n?[pic 30]

• Si, siempre es 3.
• No, porque depende del valor de n.
• No, porque r (A) ≤ 2 ∀ n ∈ R.
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Si ya que al tener el triángulo de ceros de Guaus, podemos afirmar que la matriz no puede sufrir de un rango menos de filas.

1. Si A ∈ Mm×n(R) contiene una su matriz de orden 3 con determinante no nulo, entonces:

• r( A )= 3
• r(A) ≤ 3
• m´ın{m, n} ≥ 3
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Ya que el rango depende netamente de ese determinante y su valor calculado no es nulo el rango de A ≤ 3, ya que desconocemos el orden de la matriz A.

1. Sean las matrices A ∈ M2×3(R), B ∈ M3×2 (R)y C ∈ M2×4(R).

• (A · B · C)T ∈ M2×4(R)
• No se puede efectuar la operación A · B · C
• (A · B · C)T ∈ M4×2(R)
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Ya que al multiplicar A * B su orden quedaría de 3*3 mientras que el orden de C es de 2*4 evitando su multiplicación.

1. Sean [pic 31]

• det A = det B
• r (A) = r (B)= n
• detA = k · detB  para algún k ∈ R
• Ninguna de las respuestas anteriores es correcta.

Sean A, B ∈ Mn (F). Se dice que A y B son similares (o semejantes) si existe una matriz P ∈ Mn (F) tal

 Que P es invertible y P −1AP = B. En este caso escribimos A ∼ B.

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