Teorema de Nysquist

Teorema de Nysquist

El teorema trata del muestreo, que no debe ser confundido o asociado con la cuantificación, proceso que sigue al de muestreo en la digitalización de una señal y que, al contrario del muestreo, no es reversible (se produce una pérdida de información en el proceso de cuantificación, incluso en el caso ideal teórico, que se traduce en una distorsión conocida como error o ruido de cuantificación y que establece un límite teórico superior a la relación señal-ruido). Dicho de otro modo, desde el punto de vista del teorema, las muestras discretas de una señal son valores exactos que aún no han sufrido redondeo o truncamiento alguno sobre una precisión determinada, es decir, aún no han sido cuantificadas.

El teorema demuestra que la reconstrucción exacta de una señal periódica continua en banda base a partir de sus muestras, es matemáticamente posible si la señal está limitada en banda y la tasa de muestreo es superior al doble de su ancho de banda.

Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s

Suponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la función

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en el plano

F(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano

F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el contorno del plano s, (Transformación conforme).Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.

Considérese un modelo de primer orden, pero con un cero, dado por la función transferencia de un sistema continuo y LTI:

La función transferencia (2) tiene un polo en s = −2 , y un cero en s = −1, estas singularidades se pueden representar gráficamente como se muestra en la figura 5. En dicha figura se considera, además, un contorno cerrado como el ABCDEF, que contiene al polo s = −2 y al cero s = −1.

Plano s y contorno cerrado, que incluye al polo s=-2 y al cero s=-1.

Se recorrerá el contorno cerrado en la dirección indicada en la figura 5, dándole valores a la variable s= + j , en correspondencia con los puntos A, B, C, D, E, y F del contorno cerrado y, se determinarán los correspondientes puntos en el plano G(s) .

Con los puntos así calculados, se está en condiciones de dibujar el contorno en el plano G(s) . En la figura 6, se muestra el contorno cerrado resultante, en el plano G(s).

Conclusión:

Un contorno cerrado en el plano s, que contiene al polo y al cero de G(s), tiene como imagen, un contorno cerrado en el plano G(s) que no contiene al origen de dicho plano.

Criterio de Estabilidad de Nyquist

Un sistema de control de retroalimentación simple como el mostrado en la figura 8.1, es estable si su Ecuación Característica a Lazo Cerrado, F(s) = 1 + G(s)H(s), no tiene ninguna raíz con parte real positiva.

El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo. Parte de los fundamentos que dan base al criterio de estabilidad se nombrarán a continuación.

• Para una trayectoria cerrada y continua en el plano S, que no pasa por ninguna singularidad, le corresponde una trayectoria cerrada en el plano F(s).

• Si el contorno en el plano S (Gs), encierra igual número de ceros que polos de F(s), el contorno en F(s), (GF (s) ), no encerrará el origen.

• Si el Gs encierra n polos de F(s), GF (s) rodea al origen n-veces en sentido antihorario.

• Si el Gs encierra m ceros de F(s), GF (s) rodea al origen m-veces en sentido horario.

EJEMPLO:

Una función de s, tal como F(s), transforma una trayectoria cerrada del plano s (Gs ), sobre el plano

F(s), en una trayectoria cerrada en el plano F(s) (GF (s)). Como se mencionó anteriormente, F(s)corresponderá con la ecuación característica a lazo cerrado, por lo que se tiene que:

Para este ejemplo, se tomarán dos contornos en el plano s (Gs) y se realizaran las transformaciones de dichos contornos utilizando F(s). Tanto los contornos, como sus correspondientes transformaciones.

El área encerrada está a la derecha del recorrido cuando se mueve en sentido horario, por lo queen el primer caso el s encierra un polo y un cero de F(s) y en el segundo caso, el s encierra un cero de F(s). Como puede observarse, en el primer caso el F, no encierra el origen pues el número de ceros y polos de F(s) encerrados en el s son

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