Teorema de Tchebyseff

Teorema de Tchebyseff; La Regla Empírica

En el tema de varianza se mostraron ejemplos para mostrar como la desviación estándar mide la variación de una distribución de probabilidad, es decir, como registra la concentración de probabilidad en la vecindad de la media. “Si ợ es grande, hay una gran probabilidad de obtener valores alejados de la media”.

Esta idea se expresa en el siguiente teorema:

“Si una distribución de probabilidades tiene media μ y la desviación estándar ợ, la probabilidad de obtener un valor que se desvié de la media una cantidad mayor que K veces la desviación estándar, es menor que 1/k2 . Simbólicamente:

p(|x- μ)|>kợ) < 1/k2

Para obtener otra forma de la desigualdad de chebychev, nótese que el suceso |x- μ|≤kợ es el complemento del suceso |x- μ|>kợ; luego,

p(|x- μ)|≤kợ) >1- 1/k2

Que establece que la probabilidad de obtener un valor dentro del intervalo limitado por k veces la desviación estándar a partir de la media en uno y otro sentido es mayor que 1-1/k2 .

Ejemplo:

• Tener a mano un suministro adecuado de refacciones es función importante del almacen de una gran empresa electrónica. Se estudió la demanda mensual de tarjetas para impresoras de microcomputadoras durante algunos meses y se vio que el promedio o media es 28 y la desviación estándar ¿Cuántas tarjetas de impresora deben tener a la mano al principio de cada mes para asegurar que la demanda sea mayor que la oferta cuando mucho con una probabilidad de 0.10?

Solución:

Sea X la variable aleatoria que representa la demanda.

Utilizando el teorema con k=√10 se tiene:

P(X-μ ≥ kợ) ≤ P(|X-μ| ≥ kợ) ≤ 1/k2 = 1/(√10)2 = 0.1

Es decir:

P(X-28 ≥ √10(4)) ≤ 0.1

P (X ≥ 40.65) ≤ 0.1

Por lo que deben de existir 41 tarjetas de impresora en el inventario.

• Una variable aleatoria X tiene una media μ =12, con una variancia ợ2 =9, y una distribución de probabilidades conocida. Utilizando el teorema obtener:

o P(6 < X < 18)

o P(3 < X < 21)

Solución:

P(6 < X < 18) = P[12-2(3) < X < 12+2(3)] ≥ 3/4

P(3 < X < 21) = P[12-3(3) < X < 12+3(3)] ≥ 8/9

Conclusión

Desde el punto de vista teórico, la característica más importante del teorema de Chebyshev es que se aplica a cualquier distribución de probabilidad para la que existan μ y ợ. En lo que respecta a las aplicaciones, sin embargo esta generalidad es su mayor defecto, ya que solo da una cola superior (lo que, en general, es una información pobre) de la probabilidad de obtener un valor que se desvié de la media más que de k, la desviación estándar.

Análisis combinatorio

Los teoremas del análisis combinatorio son la base del cálculo de la probabilidad.

El origen del análisis combinatorio se atribuye a los trabajos de Pascal y Fernant que fundamentan el cálculo de probabilidades.

El objeto del análisis combinatorio es el estudio de las distintas ordenaciones que pueden formularse con los elementos de un conjunto, de los distintos grupos que pueden formarse con aquellos elementos y de las relaciones entre unos y otros grupos.

Principios fundamentales

En la mayoría de los problemas de análisis combinatorio hay una operación que se repite varias veces y es necesario conocer las distintas formas en que se puede resolver dicha operación. Para resolverla, se pueden utilizar los principios fundamentales que se mencionan a continuación.

● Principio de multiplicación

Si un evento A1 puede realizarse de n formas distintas y un segundo evento A2 puede realizarse de m formas diferentes, entonces el total de formas en que puede efectuarse el primer evento seguido del segundo es el producto

Ejemplo:

1) Considerando tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II, y III

I = { a, m, r }

II = { b, d, i, l, u }

III = { c, e, n, t }

Determinar el número de conjuntos de 3 letras que pueden ser creados, tales que una letra sea de I, una de II y la otra de III.

Solución:

De I podemos elegir una letra de 3 maneras, de II podemos elegir una de 5 maneras y de III podemos elegir una de 4 maneras, entonces podemos elegir una letra de cada conjunto de 60 maneras.

2) Un matrimonio quiere comprar un estéreo y una televisión. Si en el lugar en donde realizarán la compra hay 4 diferentes modelos de estéreos y 2 diferentes modelos de televisión, ¿De cuántas maneras distintas pueden realizar la compra de ambos objetos a la vez?

Solución

Puede realizar la compra de 8 distintas maneras, ya que se multiplican los 4 diferentes modelos de estéreo por los 2 de televisión.

3) Un experimento consiste en lanzar dos dados y observar las caras que quedan hacia arriba. El primer dado puede caer de 6 maneras diferentes (1, 2, 3, 4, 5, 6) y el segundo dado también puede caer de 6 maneras diferentes, ¿Cuántas maneras hay de que caigan ambos dados simultáneamente?

Solución

El número de maneras en que pueden caer ambos dados simultáneamente es 36, ya que se multiplican las 6 maneras diferentes en que cae el primer dado por las 6 del segundo.

● Principio de adición

Si un evento A1 puede realizarse de n formas distintas y un segundo evento A2 puede efectuarse de m formas distintas pero no es posible que ambos eventos se realicen a la misma vez, entonces el evento A o el B se realizarán de la siguiente manera:

Ejemplo:

1) Consideremos tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II, y III

I = { a, m, r }

II = { b, d, i, l, u }

III = { c, e, n, t }

¿Cuántos modos hay para elegir una letra de los conjuntos I, II y III? Se toma en cuenta que estos tres conjuntos son disjuntos o mutuamente excluyentes, o sea que no hay elementos en común entre ellos.

Solución:

Para elegir una letra del conjunto I hay 3 maneras, para elegir una letra del conjunto II hay 5 maneras y para elegir una letra del conjunto III hay 4 maneras. Entonces, para elegir una letra de entre los 3 conjuntos hay 12 maneras.

2) Una pareja se va a casar y junta dinero para dar el enganche de una casa. En el fraccionamiento Lomas de la Presa les ofrecen un modelo económico o un condominio, en el fraccionamiento Playa Azul les ofrecen un modelo económico, como modelos un residencial, un californiano y un provenzal. ¿Cuántas alternativas diferentes de vivienda le ofrecen a la pareja?

Solución:

Lomas de la Presa Playa Azul

Económico Residencial

Condominio Californiano

Provenzal

m = 2 n = 3

Les ofrecen 5 maneras o alternativas, ya que Lomas de la Presa les ofrece 2 y Playa Azul ofrece 3, por lo tanto éstas se suman y dan un total de 5.

3) Para viajar de México a Ensenada se puede optar por avión, autobús o tren; existen cuatro rutas para el avión, cinco para el autobús y tres para el tren. ¿Cuántas rutas hay para viajar?

Solución

Los tres medios alternativos de transporte son disyuntivas a elegir; al optar por una de ellas, las otras dos quedan excluidas; por lo tanto es aplicable el principio aditivo.

El número de maneras diferentes en que podemos viajar de México a Ensenada son 12.

Conclusión

Los principios fundamentales del análisis son dos, uno es el multiplicativo y el otro el aditivo. Cuando se trata de una sola actividad, la cual requiere para ser llevada a cabo de una serie de pasos, entonces se hace uso del principio multiplicativo y si la actividad a desarrollar tiene alternativas para ser llevada a cabo, se hace uso del principio aditivo.

Es importante conocer dichos principios para saber su correcto uso y poder llegar a la solución de operaciones de manera eficiente.

CONCEPTO DE FACTORIAL

El Análisis Factorial, es una técnica que nos ayuda a reducir las dimensiones de los datos; el cual, su propósito consiste en buscar el número mínimo de dimensiones capaces de explicar la información obtenida por los encuestados.

Podemos comparar esta técnica con la de varianza o la de regresión, lo que sucede en estas es diferente, a lo que ocurre con el análisis factorial, en este todas las variables cumplen el mismo papel, ya que todas son independientes en el sentido de que no existe una dependiente conceptual de unas variables sobre las que ya se tienen.

Cuando se realiza una encuesta y de esta se obtiene un gran número de variables de forma simultánea, podemos estar interesados en averiguar si las preguntas del cuestionario se agrupan de alguna forma característica; aquí es donde aplicando el análisis factorial a las respuestas de los encuestados podemos encontrar grupos de variables con significado común y conseguir de este manera, reducir el número de dimensiones necesarias para posteriormente poder explicar las respuestas de los encuestados.

¿QUÉ HACE EL ANÁLISIS FACTORIAL?

Bueno, este se encarga de analizar la varianza común a todas las variables; partiendo de una matriz de correlaciones, que trata de simplificar la información que ofrece. Se opera con las correlaciones elevadas al cuadrado r2 (coeficiente determinado), que nos expresa la proporción de varianza común entre las variables.

En cada casilla de la matriz de correlación podemos ver que se refleja la proporción de varianza a dos variables, excepto la diagonal principal (donde cada ítem coincide consigo mismo). En los “1” de la diagonal principal se refleja la varianza que cada ítem comparte con los demás y también con los que no comparten (la específica o única de cada ítem).

Si deseamos exclusivamente analizar la varianza compartida habrá que eliminar los “1” de la matriz de correlaciones y poner en su lugar la proporción de varianza que cada ítem tiene en común con lo demás.

Existen dos enfoques:

1. Analizar TODA la varianza (tanto común como no común). En este caso utilizamos los “1” de la matriz de correlaciones. El método más usual es el de análisis de componentes principales.

2. Analizar SOLO la varianza común; en este caso, se sustituyen los “1” de la diagonal por estimaciones de la varianza que cada ítem tiene en común con los demás (estos se denominan comunalidades). Para la estimación de estas no existe cálculo único, existen diversos procedimientos; el procedimiento que se utiliza para sustituir los “1” por las comunalidades se le denomina análisis de factores comunes.

3.

Los dos enfoques que mencionamos entran en la denominación genérica de análisis factorial, aunque es el análisis de factores comunes al que con mas propiedad se le aplica la denominación de análisis factorial. Cabe mencionar que ambos enfoques dan resultados similares y se interpretan de manera casi similar.

También le podemos llamar a las VARIABLES = ÍTEM

La función factorial, se refiere a que solo debemos de multiplicar una serie de números que desciende, a partir del numero que nos dan. Su símbolo es: !

Ejemplos:

• 4! = 4*3*2*1= 24

• 10!= 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3,628,800

• 7!= 7*6*5*4*3*2*1= 5,040

• 1!= 1

En la siguiente tabla podemos ver que es fácil calcular un factorial desde el valor anterior:

n n!

1 1 1 1

2 2 × 1 = 2 × 1! = 2

3 3 × 2 × 1 = 3 × 2! = 6

4 4 × 3 × 2 × 1 = 4 × 3! = 24

5 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5 × 4! = 120

Cuando es 10! Si ya se sabe que 9!= 362,880, solo multiplicamos por 10:

10! = 10 * 9!

10! = 10 * 362,880 = 3,628,800

LA REGLA ES:

n! = n * (n - 1)!

Lo que significa: “que el valor factorial de cualquier número es: el número por el factorial de (1 menos que el número)”, por ejemplo:

10! = 10 * 9!

125! = 125 * 124!

¿QUÉ SUCEDE CON “0!”?

El resultado de este valor es interesante, ya que uno creería que el factorial de 0 es igual a cero, pero no. Se suele estar de acuerdo en que 0! = 1

Parece extraño no multiplicar ningún número de 1, pero nos ayuda a simplificar muchas cuestiones.

Los factoriales se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, pero sobre todo en combinaciones y permutaciones.

70! es aproximadamente 1.1978571669969891796072783721 x 10100, que es un poco más grande que un Gúgol (un 1 seguido de 100 ceros).

100! es aproximadamente 9.3326215443944152681699238856 x 10157

200! es aproximadamente 7.8865786736479050355236321393 x 10374

FACTORIAL DE UN MEDIO

El factorial de un medio (½) es la mitad de la raíz cuadrada de pi = (½)√π, y que los factoriales de algunos "semienteros" son:

n n!

(-½)! √π

(½)! (½)√π

(3/2)! (3/4)√π

(5/2)! (15/8)√π

Estos todavía cumplen la regla de que: el factorial de un número es: el número por el factorial de (1 menos que el número).

Ejemplo:

(3/2)! = (3/2) × (1/2)!

(5/2)! = (5/2) × (3/2)!

CONCLUSIÓN

Con este tema y la investigación sobre el mismo, podemos saber en dónde utilizar el factorial, además de que el utilizarlo no es solo por utilizarlo, sino al contrario nos ayuda simplificar cuestiones, como lo vimos con el “cero”, aparte de que son multiplicaciones, y nos es más fácil el utilizarlo.

MÉTODOS DE CONTEO

Son estrategias utilizadas para determinar el número de posibilidades diferentes que existen al realizar un experimento.

ORDENACIONES

Un diagrama de árbol o método de Ordenamiento es una herramienta que se utiliza para determinar todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En el cálculo de la probabilidad se requiere conocer el número de elementos que forman parte del espacio muestral, estos se pueden determinar con la construcción del diagrama de árbol.

Una ordenación es una representación gráfica de los posibles resultados del experimento, el cual consta una serie de pasos, donde cada uno de los pasos tiene un número finito de maneras de ser llevado a cabo. Se utiliza en los problemas de conteo y probabilidad.

Ejemplo:

Dado el conjunto M= {a,b,c,d} se quiere formar los tríos ordenados de elementos sin repetir. ¿De cuántas maneras se puede hacer?

Solución. Se forma una tabla con tres columnas. En la primera se ponen todos los elementos del conjunto. En la segunda, los pares derivados de cada elemento y en la tercera, las tercias derivadas de cada par:

Observando la tabla de opciones se puede concluir que: se han considerado distintas aquellas disposiciones que, teniendo los mismos elementos, estos se encuentran en distinto orden. Para cada elemento se obtuvieron tres disposiciones en forma de pareja. Para cada pareja se obtuvieron dos nuevas disposiciones en forma de tercia.

A las disposiciones obtenidas al final se les llama ordenaciones de 3 elementos tomados de entre 4 dados. La cantidad obtenida es 24 y se denota como:

4

3

Ejemplo:

En una clase de 35 alumnos se quiere elegir un comité formado por tres alumnos. ¿Cuántos comités diferentes se pueden formar?

No entran todos los elementos. No importa el orden: Juan, Ana. No se repiten los elementos.

Ejemplo:

Supóngase que se tiene un conjunto con p elementos y que se desea formar ordenaciones de elementos tomados de q en q. Al igual que en ejemplo anterior se puede formar una tabla en la que ubicamos en la primera columna p elementos del conjunto tomándolos de uno en uno. En la siguiente columna, se colocan todas las parejas posibles formadas por p y los 1-p elementos que quedan sin disponer en el conjunto. En la tercera columna se colocan las tercias formadas por las parejas y los 2−p elementos no usados. Así se puede continuar hasta formar los arreglos de orden q.

Para cada elemento, el número de parejas (q=2) está dado por p menos 1−q Para cada pareja, el número de tercias (3=q) está dado por p menos q −1

Se aprecia que el proceso es sucesivo. Se puede concluir que a partir de cada ordenación de orden q −1 se forman p−(q−1) ordenaciones de orden q.

La cantidad obtenida será:

Que de forma recurrente obtendríamos las siguientes fórmulas:

Finalmente, la fórmula que nos permitirá calcular la cantidad de arreglos de p elementos de orden q será:

ORDENACIONES CON REPETICIÓN

Se manifiestan en el caso de que un mismo elemento pueda aparecer repetido en una misma ordenación.

Las combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (m ≥ n), son los distintos grupos formados por n elementos de manera que:

No entran todos los elementos. No importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplo:

Sea el conjunto A = {a,b,c,d}

Siguiendo un razonamiento de acuerdo a la formación de las ordenaciones simples, se disponen las ordenaciones con repetición:

En la primera columna se colocaron los elementos, en la segunda las ordenaciones de dos en dos y en la tercera las ordenaciones de tres en tres. En este caso, por cada elemento se obtienen tantas ordenaciones con repetición como elementos hay en el conjunto.

Las ordenaciones con repetición de 2 elementos tomados de entre 3 dados es 9 y las ordenaciones con repetición de 3 elementos tomados de entre 3 dados es 27.

Las ordenaciones con repetición se denotan como:

q

p

De esta manera, si se tienen p elementos, las ordenaciones con repetición con orden el respectivo serán:

Ejemplo:

Con un candado de seis discos, con diez letras cada uno ¿Cuántas combinaciones son posibles?

Entonces serán las ordenaciones con repetición de diez letras tomadas de seis en seis.

Ejemplo:

En una bodega hay en un cinco tipos diferentes de botellas. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro botellas?

PERMUTACIONES

Consiste en multiplicar en todo momento cada dato que te pueda dar y sirve para hallar formulas generales que permitan calcular el número de permutaciones con y sin repetición.

Dados n objetos diferentes a1, a2, a3….an ¿De cuántas maneras se pueden ordenar? La cantidad de maneras de ordenar n elementos diferentes es posible calcular mediante la fórmula:

Cada ordenación de los n objetos se llama una permutación simple de los n elementos y la cantidad de estas permutaciones se representa Pn

De esta manera:

Es decir, las permutaciones son las agrupaciones de los p elementos tomados a la vez, de manera que dos agrupaciones difieran entre sí en el orden de los elementos.

Ejemplo: ¿cómo podrías ordenar 16 bolas de billar? Después de elegir la "14" no puedes elegirla otra vez.

Así que tu primera elección tiene 16 posibilidades, y tu siguiente elección tiene 15 posibilidades, después 14, 13, etc. Y el total de permutaciones sería:

16 × 15 × 14 × 13 ... = 20,922,789,888,000

Pero a lo mejor no quieres elegirlas todas, sólo 3 de ellas, así que sería solamente:

16 × 15 × 14 = 3360

Es decir, hay 3,360 maneras diferentes de elegir 3 bolas de billar de entre 16.

Para escibrirlo dentro de un problema matemático utilizaremos la “función factorial” (!)

La función factorial (símbolo: !) significa que se multiplican números descendentes. Ejemplos:

• 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

• 7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040

• 1! = 1

La fórmula se escribe:

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(No se puede repetir, el orden importa)

EJEMPLO:

¿De cuántas maneras se pueden dar primer y segundo premio entre 10 personas?

10! = 10! = 3,628,800 = 90

(10-2)! 8! 40,320

Ejemplo:

¿Cuántos son los anagramas (transposiciones de letras) de la palabra PRÁCTICO?

Solución:

Cada anagrama de PRÁCTICO es nada más que una ordenación de las letras P, R, A, C, T, I, C, O. De esta manera la cantidad de anagramas de la palabra

PRÁCTICO será

Ejemplo:

¿Cuántos son los anagramas de la palabra PRÁCTICO que comienzan y terminan en consonante?

Solución:

Como la palabra tiene ocho letras y hay tres vocales, la consonante inicial puede ser elegida de 5 maneras. Al empezar con una consonante, la consonante final sólo puede elegirse de 4 formas. Las restantes pueden ser arregladas entre esas dos consonantes de formas, por lo que es la respuesta.

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Si tienes n cosas para elegir y eliges r de ellas, las permutaciones posibles son:

n × n × ... (r veces) = nr

(Porque hay n posibilidades para la primera elección, DESPUÉS hay n posibilidades para la segunda elección, y así sucesivamente)

nr

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas

(Se puede repetir, el orden importa)

Ejemplo:

Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; ¿cuántos números de nueve cifras se pueden formar?

m = 9 a = 3 b = 4 c = 2 a + b + c = 9

Sí entran todos los elementos. Si importa el orden. Sí se repiten los elementos.

Ejemplo:

En una urna hay 9 bolas, 3 blancas, 2 rojas y 4 negras. ¿De cuantas formas distintas se pueden extraer las bolas de la urna?

Al tener tres bolas blancas, a efectos de ordenación se consideran iguales, lo mismo ocurre con las rojas y las negras.

Las posibles ordenaciones son:

Ejemplo:

En una competición deportiva participan 4 equipos de 3 atletas cada uno. ¿De cuántas formas diferentes pueden llegar los equipos?

A la hora de elaborar la clasificación por equipos los atletas se consideran idénticos.

El número de posibles clasificaciones es:

COMBINACIONES

Una combinación, es un arreglo de elementos en donde no interesa el lugar o posición que ocupan los mismos dentro del arreglo. En una combinación nos interesa formar grupos y el contenido de los mismos. En el caso de las combinaciones, lo importante es el número de agrupaciones diferentes de objetos que pueden incurrir sin importar su orden. Por lo tanto en las combinaciones se busca el número de subgrupos diferentes que pueden tomarse a partir de objetos si el orden de los objetos no es importante.

También hay dos tipos de combinaciones (recuerda que ahora el orden no importa):

Combinaciones sin repetición

Así funciona la lotería. Los números se eligen de uno en uno, y si tienes los números de la suerte (da igual el orden), ganas.

Donde n es el número de cosas que puedes elegir, y eliges r de ellas(No se puede repetir, el orden no importa)

EJEMPLO:

¿Cuántos equipos de voleibol se pueden formar a partir de 9 jugadores disponibles? Se requieren 6 jugadores para formar un equipo de voleibol, por lo que, en este caso se tiene que

n = 9 r = 6

De manera que:

9n6= 9! / 6! (9-6)! = 84

Ejemplo:¿Cuántas ensaladas conteniendo exactamente cuatro frutas se pueden hacer si se dispone de diez frutas diferentes?

Solución. Para hacer una ensalada basta escoger cuatro de las diez frutas, lo que puede ser efectuado por la fórmula:

Dando como resultado 210 distintas ensaladas.

Ejemplo:

Se marcan cinco puntos sobre una recta r y ocho puntos sobre otra recta s paralela a r ¿Cuántos triángulos existen con vértices en tres de esos trece puntos?

Solución:

Para determinar un triángulo se debe tomar un punto sobre r y dos sobre s o uno sobre s y dos sobre r

El número de triángulos en el primer caso es 5 (8 2) en el segundo 8 (5 2). Entonces la respuesta se obtendrá por medio de:

COMBINACIONES CON REPETICIÓN

De forma análoga a las ordenaciones, se puede suponer que, en una combinación, un determinado elemento pueda figurar varias veces, es decir se tratan de combinaciones con repetición.

La cantidad de combinaciones con repetición de p elementos tomados de q en q se denota como

Este número puede ser, evidentemente, mayor que el de las combinaciones simples de p elementos tomados de q en q.

Para observar cómo se forman estas combinaciones, considérense los elementos a, b y c.

Para obtener las combinaciones de orden dos con repetición, será necesario agregar a las combinaciones simples de orden dos ab, ac, bc, los nuevos grupos donde una misma letra puede figurar hasta dos veces, o sea aa, bb, cc, teniendo en total las combinaciones con repetición de orden dos: aa, ab, ac, bb, bc, cc.

Se puede concluir que para formar las combinaciones con repetición de p elementos tomados de q en q, se forman las de orden anterior q −1, y a la derecha de cada una de estas se coloca, sucesivamente, el último de los elementos que figura en ella y cada uno de los siguientes, hasta el último de los elementos dados, supuestos alineados los elementos de cada grupo en orden numérico o alfabético.

La fórmula que permite calcular la cantidad de combinaciones con repetición es:

Ejemplo:

Dados elementos {♣,♦,♥,♠} obtener:

Solución:

Ejemplo:

¿Cuántas fichas tiene el juego del dominó?

Una ficha de dominó es un rectángulo en el que hay dos partes, en cada una de ellas hay una serie de puntos que indican la puntuación de esa parte. Estas puntuaciones van de blanca (0 puntos) a 6. Tenemos pares de puntuaciones de 0 a 6.

El total de fichas será

Ejemplo:

En una pastelería hay 6 tipos distintos de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir 4 pasteles?.

Nota: Si nos gusta un pastel lo podemos pedir hasta cuatro veces.

Estamos en el caso en el que no nos importa el orden en que elijamos los pasteles y podemos repetir, son combinaciones con repetición. Lo podemos obtener mediante:

Conclusión

Se puede concluir que las permutaciones son un caso particular de ordenaciones, cuando se consideran todos los elementos del conjunto.

Es importante notar la diferencia entre permutación y combinación. En la permutación lo que importa es el lugar que ocupa cada elemento, mientras que en la combinación no, sino solamente “los integrantes” del conjunto. Y en un conjunto no importa el orden de los elementos.

Tomando en cuenta todo lo anteriormente visto, podemos decir que los métodos de conteo son estrategias elementales que nos ayudan a saber las distintas posibilidades que podemos obtener en algún caso o experimento.

CONCLUSIÓN GENERAL

El análisis combinatorio es la parte fundamental de las reglas de conteo, ya que proporciona las fórmulas adecuadas para simplificar la tardada labor de contar el número de resultados posibles que pueden darse en un experimento.

Es una manera sencilla y abreviada de contar.

Las actividades u operaciones que se dan en este análisis es a lo que llamamos eventos.

Es de suma importancia, ya que reduce tiempo y esfuerzo, sin riesgos de cometer equivocaciones al contar el posible número de posibles resultados, así logrando encontrar resultados de experimentos de manera rápida, eficaz y eficiente.

Tomar en cuenta tanto los principios fundamentales, como la factorialidad e incluso los métodos de conteo, es indispensable para lograr obtener de manera correcta todos los posibles resultados, además podemos llegar a ellos de manera sencilla.

REFERENCIAS

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BERENSON,L. Mark, Levine M. David, Krehbiel C. Timothy, Estadística para Administración. México. Pearson Educación, 2001, (2 ed) 734 pp.

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