Tipos de solución de un S.E.L

TIPOS DE SOLUCIÓN DE UN S.E.L

(m,n)

1. Rango fila de una matriz

4. Si AX=B es consistente, entonces el sistema tiene:

i. Solución única: cuando el r(A) = k = n, donde n es el número de incógnitas del

sistema.

número de filas no nulas de la matriz

libres.

.

También podemos decir que r(A) es el número de pivotes de

: cuando r (A) = k, con k < n, en este caso existen (n-k) variables

ii. Infinitas soluciones

es la forma escalonada de A.

, donde

Dada una matriz A de mxn, definimos el rango fila de A, denotado por r(A), como el

1 2 2Ej.: dada la matriz =

,

En resumen tenemos que al solucionar un S.E.L podemos obtener:

i. Ninguna solución

ii. Solución única

0 -1 -2

0 0 3

1 2 2

=

).

podemos afirmar que el rango fila de A es 3 (número de pivotes de , y su forma escalonada 3 1 22 2 3

iii. Infinitas soluciones

2. Para un S.E.L de ecuación AX=B, cuyo sistema escalonado equivalente es clasificamos las variables en dos grupos así:

tienen pivotes.

X=D,

ii. Variables Libres o Parámetros: son las que corresponden a columnas de

tienen pivotes.

Dado el siguiente S.E.L

que no

i. Variables Básicas o Principales: son aquellas que corresponden a columnas de

que

5. Ejercicios:

Para el sistema de ecuaciones dado:

Ejemplo:

+ 2 - 2 + 4 + = 7

2

5X + 16Y+ (t

2

3X + 9Y + (t

+ 12)Z = t+26

-1)Z =t + 16

5 + - 2 + 5 = 1

i. Determine la matriz de coeficientes.

ii. Escriba la ecuación matricial correspondiente.

iii. ¿Para qué valores de l, con l ˘ ´ el siguiente sistema tiene:

i) ninguna solución.

ii) solución única

iii) infinitas soluciones

X + 3Y + 5Z = 4

+ 2 = 4

Cuya matriz de coeficientes en su forma escalonada es

Realice el mismo análisis para el siguiente sistema:

=

Entonces tenemos:

1 2 -2 4 1

0 5 1 -2 5

+ 3)Z =4t + 6

2

3X + 6Y + (t

Problemas de aplicación:

0 0 0 1 2

X + 2Y + 4Z = 3+t

2X + Y+ 10Z = 11

• Variables básicas: A, B,D

• Variables libres: C, E

Una sección de producción de una empresa dispone de tres tipos de máquinas,

designadas por A, B y C, que producen tres productos diferentes. La capacidad de

3. Sistema consistente

producción diaria de cada máquina se muestra en la siguiente tabla:

caso contrario se dice que el S.E.L es inconsistente, es decir, el sistema tiene solución si

y sólo si el rango fila de la matriz A es igual al rango fila de la matriz aumentada del

sistema.

1 100 300 40

2 160 50 150

3 100 50 90

Máquina

Productos

A B C

Un S.E.L con ecuación matricial AX=B es consistente si y sólo si r(A) = r(A | B), en

La sección ha recibido una orden de producción para un día específico, discriminada

así: 2700 unidades del artículo 1; 3030 unidades del artículo 2; 1950 unidades del

artículo 3.

a. Calcule el número de máquinas de cada tipo que deben programarse para

satisfacer exactamente la orden de producción.

b. Si un criterio posterior recomienda escoger la opción que demande el menor

número de máquinas pero utilizando los tres tipos, ¿cuál es la mejor solución?

c. Si la sección sólo dispone para programar en ese día de 8

...