Trabajo Vibraciones mecánicas

UNIVERSIDAD DE LA SERENA

Trabajo Vibraciones mecánicas

Solución de problemas

Sebastián Angel Cerda

15/07/2014

Profesor: Pablo Galleguillos

Solución de problemas presentados en prueba 1 y 2, más otros problemas referente a la ultima unidad vista en clases.

(x(t))/x(t+T) =2=e^(c/2m)T

ln⁡〖(x(t))/(x(t+T))〗=c/2m 2π/Wd

ln⁡2=πc/Wdm

δ=πc/Wdm

δ=ln⁡2

por lo tanto el decremento logarítmico es δ=0,6932

δ=(2π(c⁄cc))/√(1-〖(c⁄cc)〗^2 )

Factor de amortiguamiento c⁄cc=τ

0,6932=2πτ/√(1-τ^2 )

Por lo tanto el factor de amortiguamiento es τ=0,11

suponiendo que el eje x(vertical) es positivo hacia arriba y el eje y (horizontal ) es positivo a la derecha

DCL de la masa

suma de fuerzas verticales=0

-m*g=T

suma de fuerzas horizontales=0

0=0

DCL de la polea

sumatoria de fuerzas verticales =0

-2T=k*x/2

sumatoria de fuerzas horizontales =0

0=0

Reemplazando la tensión desde el DCL de la masa en la suma vertical de fuerzas en el DCL de la polea queda

-2*m*g=k*x/2

g es la aceleración de gravedad, por lo que se puede escribir como diferencial del desplazamiento respecto al tiempo quedando:

-2*m*(d^2 x)/(dt^2 )-k*x/2=0

esta forma representa un mas por lo tanto dejando sola la aceleración la ecuación queda

(d^2 x)/(dt^2 )+k/m*x/4=0

por lo tanto la frecuencia natural del sistema es la raíz de lo que acompaña a la x quedando

wn=√(k/4m)

Masa total mt=4*2,3+28,5=37,7 kg

K=mt*w^2=37,7*〖135〗^2=687082,5 (N/m)

En el desequilibrio

mo*e=2,3*0,170=0,391 (Kg-m)

frecuencia de desequilibrio

w_des=√(K/m)=√(687082,5/(37,7-2,3 ))=139,31 (rad/Seg)

(m*x_0)/(mo*e)=〖(w⁄wn)〗^2/√((1-(w⁄wn)^2 )+〖(2*(c⁄cc)*(w⁄wn))〗^2 )

x_0=0,391/35,4*((900*[2π/60])⁄139,3)^2/√((1-((900*[2π/60])⁄139,3)^2 )^2+(2*0,05*((900*[2π/60])⁄139,3))^2 )=9,25 (mm)

Grafique

Tr=1/(1-(w/wn)^2 )

Sea c=w/wn

Por lo tanto la ecuación queda de esta manera:

tr(c)=1/(1-c^2 )

K=1,4*〖10〗^7 (N/m)

e=1 (mm)

m=55 Kg

w=6000 RPM =628,319 (rad/seg)

wn=√((1,4*〖10〗^7)/55)=504,525 (rad/seg)

a)

r_0=(e*(w/wn)^2)/(1-(w/wn)^2 )

r_0=(1*(628,319/504.525)^2)/(1-(628,319/504.525)^2 )=2,815

b)

r_0=(mw^2 e)/√((k-mw^2 )^2+c^2 w^2 )

Para sacar la máxima deflexión se debe cumplir

(dr_0)/dw √((k-m∙w^2 )^2+c^2∙w^2 )=0

Por lo que la velocidad crítica seria igual a

w_c=√(k/m-c^2/(2m^2 ))

c=Cc*0,05=√(4*m*k)*0,05=√(4*55*1,4*〖10〗^7 )*0,05=2,775*〖10〗^3 (Ns/m)

Reemplazando se obtiene la velocidad critica

w_c=√((1,4*〖10〗^7)/55-(2,775*〖10〗^3 )^2/(2*〖55〗^2 ))=503,262 (rad/seg)

reemplazando la velocidad critica en la fórmula de deflexión, se obtendrá la deflexión máxima

r_0=(〖55*503,262〗^2*1)/√((1,4*〖10〗^7-55*〖503,262〗^2 )^2+〖2,775*〖10〗^3〗^2*〖503,262〗^2 )=9,962 (mm)

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