Vibración Mecánica

Una vibración mecánica es el movimiento de una partícula o cuerpo que oscila alrededor de una posición de equilibrio. La mayoría de las vibraciones en máquinas y estructuras son indeseables debido al aumento de los esfuerzos y a las pérdidas de energía que las acompañan. Por lo tanto, es necesario eliminarlas o reducirlas en el mayor grado posible mediante un diseño apropiado.

Movimiento armónico simple.

Considere un cuerpo de masa m unido a un resorte de constante k Puesto que en el tiempo presente se considera sólo el movimiento de su centro de masa, a este cuerpo se le considerará como una partícula. Cuando la partícula está en equilibrio estático, las fuerzas que actúan sobre ella son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte, de magnitud , donde estática denota la elongación del resorte. Por lo tanto, se tiene,

Supóngase ahora que la partícula se desplaza a una distancia xm desde su posición de equilibrio y se suelta sin velocidad inicial. Si xm se ha elegido más pequeña que estática, la partícula se moverá hacia un lado y otro de su posición de equilibrio Para analizar la vibración, se considerará la partícula en una posición P en algún tiempo arbitrario t Denotando por x el desplazamiento OP medido desde la posición de equilibrio O (positivo hacia abajo), se nota que las fuerzas que actúan sobre la partícula son su peso W y la fuerza T ejercida por el resorte que, en esta posición, tiene una magnitud T =k( estática + x). Como W= k estática se encuentra que la magnitud de la resultante F de las dos fuerzas (positiva hacia abajo) es

F = W - k( estática + x)=-kx

F está dirigida siempre hacia la posición de equilibrio O. Sustituyendo F en la ecuación fundamental F =ma y recordando que a es la segunda derivada

¨x de x con respecto a t, se escribe:

Hay que observar que debe usarse la misma convención de signos para la aceleración ¨x y para el desplazamiento x, a saber, positivo hacia abajo. El movimiento definido por la ecuación recibe el nombre de movimiento armónico simple. Éste se caracteriza por el hecho de que la aceleración es proporcional al desplazamiento y de dirección opuesta. Se puede verificar que cada una de las funciones y satisface la ecuación.

La solución general de la ecuación se obtiene al multiplicar cada una de las soluciones particulares por una constante arbitraria y sumando. De tal manera, la solución general se expresa como.

Observe que x es una función periódica del tiempo t y que, por lo tanto, representa una vibración de la partícula P. El coeficiente de t en la expresión obtenida se conoce como la frecuencia circular natural de la vibración y se denota por . Se tiene

Frecuencia circular = =

Al sustituir en la ecuación

Ésta es la solución general de la ecuación diferencial.

para la velocidad y la aceleración en el tiempo t con respecto a t

Velocidad

aceleración

Los valores de las constantes C1 y C2 dependen de las condiciones iniciales del movimiento. Por ejemplo, se tiene C1 = 0 si la partícula se desplaza desde su posición de equilibrio y se suelta en t = 0 sin ninguna velocidad inicial, y C2 = 0 si la partícula empieza desde O en t = 0 con cierta velocidad inicial Las expresiones obtenidas para el desplazamiento, la velocidad y la aceleración de una partícula pueden escribirse en una forma más compacta.

X=OP

La curva desplazamiento-tiempo se representa por medio de una curva senoidal el valor máximo del desplazamiento se denomina la amplitud de la vibración, y el ángulo que define la posición inicial de Q en el círculo se llama ángulo de fase. En la siguiente figura se advierte que un círculo completo se describe cuando el ángulo aumenta en . El valor correspondiente de t, denotado por , se llama el periodo de la vibración libre y se mide en segundos. Se tiene:

El número de ciclos descritos por unidad de tiempo se denota mediante fn y se conoce como frecuencia natural de la vibración.

La frecuencia es de 1 ciclo por segundo Se denomina hertz (Hz) en el SI de unidades. 1 Hz corresponde a una frecuencia circular de .

Los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son:

Principio de conservación de la energía mecánica.

Trabajo.

Considere la fuerza F que actuando sobre una particula, la mueve de A hasta B como se muestra en la figura. El trabajo hecho por la fuerza F esta definido matemáticamente por la integral lineal:

Ejemplo: supongamos que un bloque se desliza sobre una superficie lisa. Viaja una distancia s bajo la acción de una fuerza P de magnitud constante y dirección

Fuerzas que actúan sobre el cuerpo:

mientras que el vector posición es.

r=xi

por ende.

dr=dxi

de modo que el trabajo es.

Si F es una fuerza consecutiva, la integral:

Que

...