Transformación de Lorentz

Resumen Secciones 1.3 y 1.4

Después de mostrar la importancia de la transformación de Lorentz en la relatividad y sus respectivas ecuaciones, usan la expresión de los frentes de onda esféricos que produce un haz propagándose por todas las direcciones del espacio con velocidad  en un tiempo  con el fin de encontrar el factor . Posteriormente, utilizando el concepto de diferenciación encuentran las expresiones para la transformación de Lorentz de las velocidades. Cabe mencionar que, aunque el movimiento se produce en uno de los ejes (en nuestro caso, en el eje x), la velocidad tendrá componentes en x, y e z; esto debido a que se deriva con respecto al tiempo y éste ya no es absoluto. [pic 1][pic 2][pic 3]

El hecho de que dos eventos simultáneos en un sistema de referencia inercial estén sincronizados y en otro no, indica que el espacio-tiempo es tetradimensional. Obviamente es muy complejo dibujar 4 dimensiones en una hoja de papel bidimensional y por ese motivo introducen los diagramas espacio-temporales valiéndose del hecho de que las coordenadas y e z permanecen invariantes. Los diagramas de espacio-tiempo son gráficas de  en función de  o de  en función de  que nos ayudan a organizar y visualizar mucho mejor los problemas de relatividad cuando tenemos marcos de referencia inerciales que se mueven a cierta velocidad respecto a otros. Dentro de los diagramas de espacio-tiempo es necesario estudiar también las líneas de mundo; la línea de mundo es la "trayectoria" de la partícula en una gráfica  versus . Si la velocidad es constante, la línea de mundo será una línea recta, mientras que, si la velocidad cambia con el tiempo, la línea de mundo será una curva. Las líneas de mundo nos permiten encontrar la velocidad de las partículas u objetos en movimiento.[pic 4][pic 5][pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Haciendo uso de líneas de mundo, podemos construir los ejes  y , es decir, podemos construir el marco de referencia S’ a partir de S. En el texto indican como realizar esto teniendo en cuenta algunos hechos y encontrando la pendiente de los ejes  y . Es importante notar que, cuando se realizan dichos procedimientos, no encontramos que los ejes de S’ sean paralelos a los de S; esto se debe a que, aunque sean paralelos en el espacio, no lo son en el espacio-tiempo. También se explica como construir la cuadrícula de S’.[pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Mediante un experimento de una nave y un espejo, demuestran que el tiempo se dilata para un observador en reposo respecto de uno que está en movimiento; es decir, el tiempo será mayor en el sistema de referencia en reposo. Para demostrar este hecho, nos mostraron un experimento hecho en la vida real en donde, a pesar de que la velocidad no era muy grande con respecto a la velocidad de la luz, se notó la diferencia temporal en los relojes. Después de hablar sobre la dilatación del tiempo, explicaron la contracción de la longitud. Si se tiene un objeto en S’ con una longitud apropiada , éste se observará más pequeño en un sistema de referencia en reposo S debido a que la longitud se contrae. En este punto es importante decir que la longitud que dicha contracción solo ocurre en la dirección paralela al movimiento. Luego de definir y explicar la dilatación temporal y la contracción espacial, brindan un ejemplo sobre los muones en el cual se aplican estos dos fenómenos. [pic 14]

Como previamente dijimos, la transformación de Lorentz no es invariable con respecto a los sistemas inerciales. Esto se debe, por un lado, al hecho de que el tiempo se expande y se contrae. En este punto vale la pena preguntarse si hay alguna cantidad de espacio tiempo para la cual la transformación de Lorentz permanece invariable. Esta cantidad se denomina intervalo espacio-tiempo y viene dada por la ecuación de frecuencia de onda utilizada para encontrar el factor . Esta es: . Al final del capítulo se analiza, explica y amplía detalladamente lo concerniente a los distintos casos que pueden darse para la expresión , estos casos son: intervalo de tiempo, intervalo de espacio e intervalo de luz. [pic 15][pic 16][pic 17]

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