Triángulos Notables

RELACIONES Y FUNCIONES

Conocimientos previos

Par ordenado: Son dos números encerrados entre paréntesis y separados por un punto y coma: (a; b)

Producto Cartesiano: Dados dos conjuntos A y B, el producto cartesiano de A X B es el conjunto de pares ordenados (a; b) tales que a  A y b  B.

Ejemplo: Si A = { 2; 3; 5} y B = { 3; 4}, señalar los elementos de:

A X B = {

B X A = {

Relación binaria : Una relación binaria de A en B es cualquier subconjunto del producto cartesiano A X B, establecido por medio de una regla de correspondencia.

Dominio de una relación: Es el conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados de la relación.

Rango de una relación: Es el conjunto de los segundos elementos de los pares ordenados de la relación.

Ejemplo 1: Si A = { 4; 2; 3} y B = { 1; 3; 5}, determine los elementos de la relación: , señale dominio y rango.

Solución:

Ejemplo 2: Si A = { 2; 4; 5; 8} y B = { 2; 3; 4; 5}, determine los elementos de la relación: , señale dominio y rango.

Solución:

Ejemplo 3: Si A = { 1; 0; 1; 3; 4} y B = {1; 2; 8; 10; 12}, determine los elementos de la relación: , señale dominio y rango.

Solución:

FUNCIONES

Definición: Una relación de A en B es una función si y sólo si para cada x A, existe un único elemento y  B a través de una regla de correspondencia de la forma . Esto significa que ningún par ordenado debe tener el primer elemento repetido.

NOTACIÓN DE FUNCIÓN

Una función de A en B se denota: y por definición:

Donde A : Conjunto de partida

B : Conjunto de llegada

“x” : Variable independiente

“y” : Variable dependiente

y = f(x) : Regla de correspondencia (se lee: “y es igual a f de x”)

La regla de correspondencia nos permite asociar un elemento xA con un elemento yB que verifique y = f(x).

Ejemplo 1: Dados los conjuntos: A = {4; 2; 0; 1; 2; 3 } y B = {5;3; 1; 0; 4; 6; 7 }. Hallar los elementos de la función .

Solución: Reemplazamos en la regla de correspondencia los valores de xA, obteniendo los resultados que se muestran en el cuadro:

x y = x2 – 3

4 13

2 1

0 3

1 2

2 1

3 6

Dominio de una función (Df ): Es el conjunto de las primeras componentes de los pares ordenados de la función, son llamados también preimágenes

En el ejemplo anterior: Df = {2; 0; 2; 3 }

Rango de una función (Rf ) : Es el conjunto de las segundas componentes de los pares ordenados de la función, son llamados también imágenes.

En el ejemplo anterior: Rf = {3; 1; 6 }

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Una función puede representarse mediante dos tipos de diagramas: Sagital y Cartesiano. Por ejemplo para la función f = { (1; 5), (2; 6), (3; 6); (4; 4); (5; 4) } sus representaciones gráficas son:

DIAGRAMA SAGITAL DIAGRAMA CARTESIANO

f

A B B

1 •5 6 • •

2 •6 5 •

3 •3 4 • •

4 •4 3

5

1 2 3 4 5 A

Conjunto Conjunto

de partida de llegada

OBSERVACIONES:

• En el diagrama sagital de una función, dos flechas no deben tener el mismo origen. Si esto ocurriese, los puntos de llegada deben representar el mismo valor.

• En el diagrama cartesiano dos puntos no deben estar ubicados en la misma línea vertical.

CAPACIDAD: MANEJO DE ALGORITMOS

HABILIDAD: Calcular

Ejercicio 1: Si y . Hallar los elementos de la función , señale dominio y rango.

Ejercicio 2: Dada la función: f = { (3; 5), (2; 7), (6; 5), (5; 0), (1; 7), (0; 13) }, señale:

Ejercico 3: Dada la función: , calcular:

Ejercicio 4: Dada la función: f = { (2; 3), (4; 7), (2; a+b), (4; ab) }, calcular los valores de a y b.

Ejercicio 5: Dada la función: , determine su dominio y rango y calcular: .

Ejercicio 6: Dadas las funciones: y , calcular el valor de a si: .

Ejercicio 7: A partir del siguiente diagrama, calcular

f

A B

1 • 6

0 • 5

2 • 4

3 • 7

5

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Una función se llama real de variable real o simplemente función real cuando el conjunto de partida y de llegada son subconjuntos de R

El dominio de una función real f es el conjunto de todos los números reales que puede tomar la variable x, para los cuales el valor de está definido, es decir, también es un número real.

Ejemplos:

En este ejemplo, para cualquier valor real de x, es también un número real



En este ejemplo, el valor de x debe ser un número mayor o igual a 6 para que sea también un número real



En este ejemplo, el valor de x puede ser cualquier número real excepto 7, para que sea también un número real



GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL

La gráfica de una función real es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cartesiano tales que x está en el dominio de la función y además: y = f(x).

Ejemplo: Hallar la gráfica de y = x2 + 2, x  [ 1; 3 ]

Solución: En el intervalo de [ 1; 3 ] existen infinitos números reales, lo cual implica que la función tiene infinitos pares ordenados. A continuación se muestran algunos de ellos:

x y= x2 + 2

1 3

0,5 2,25

0,2 2,04

0 2

0,4 2,16

0,8 2,64

1 3

1,5 4,25

2 6

3 11

Y (Eje de Ordenadas)

y = f(x)

Rf

Df = [ 1; 3 ]

Rf = [ 2; 11 ]

X

(Eje de Abscisas)

Df

Prueba de la recta vertical

“Para que una gráfica

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