Un número racional

Números racionales

Un número racional es una cifra o valor que puede ser referido como el cociente de dos números enteros o más precisamente, un número entero y un número natural positivo. Es decir que es un número racional, es un número que se escribe mediante una fracción.

Los números racionales son números fraccionarios, sin embargo los números enteros también pueden ser expresados como fracción, por lo tanto también pueden ser tomados como números racionales con el simple hecho de dar un cociente entre el número entero y el número 1 como denominador.

Al conjunto de los números racionales se lo denota con la letra Q, que viene de la palabra anglosajona “Quotient” traducción literal de cociente, y que sirve para recogerlos como subgrupo dentro de los números reales y junto a los números enteros cuya denotación es la letra Z. Por ello, en ocasiones se refieren a los números racionales como números Q.

Números reales

En matemáticas, los números reales (designados por ) incluyen tanto a los números racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en otro enfoque, trascendentes y algebraicos. Los irracionales y los trascendentes1 (1970) no se pueden expresar mediante una fracción de dos enteros con denominador no nulo; tienen infinitas cifras decimales aperiódicas, tales como: , el número real log2, cuya trascendencia fue mentada por Euler en el siglo XVIII.2

Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo matemático formal.

Números complejos

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como , siendo  el conjunto de los reales se cumple que . Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.1

Números enteros

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de los números enteros se designa por Z:

Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números negativos permiten contar nuevos tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo…).

Se llama valor absoluto de un número entero a, a un número natural que se designa |a| y que es igual al propio a si es positivo o cero, y a -a si es negativo. Es decir:

• si a > 0, |a| = a ; por ejemplo, |5| = 5; 

• si a < 0, |a| = -a ; por ejemplo, |-5| = -(-5) = 5. 

El valor absoluto de un número es, pues, siempre positivo.

AXIOMAS DE CAMPO DE LOS NÚMEROS REALES

Axiomas de campo de los numeros reales

axioma 1 . _ Propiedad conmulativa x + y = y + x, xy = yx 

axioma 2 . _ propiedad asociativa x + (y + z) = (x + y) + z, (xy)z = x(yz) 

axioma 3. _ Propiedad distributiva x (y + z) = xy + xz 

axioma 4. _ Existencia de elementos neutros. Existen dos numeros reales distintos que se 

indican por 0 y 1 tales que para cada numero real x se tiene : 0 + x = x + 0 = x y 1.x 

= x.1= x 

axioma 5. _ Existencia de negativos. Para cada numero real x existe un numero real y tal que 

x + y = y + x = 0 

axioma 6. _ Existencia del reciproco. Para cada numero real x ≠ 0 existe un numero real y tal 

que xy = yx = 1 

Teorema.1-1Ley de simplificacion para la suma. Si a + b = a + c, entonces b = c. 

Teorema.1-2Posibilidad de la sustraccion. Dados a y b existe uno y solo un x tal que a + y = b , 

Este x se designa por b - a en particular 0 - a se escribe -a y se denominan el 

negativo de a. 

¿Qué son los conjuntos?

es lo que está unido, contiguo o incorporado a otra cosa, o que se encuentra mezclado, combinado o aliado con otra cosa diversa. Un conjunto, por lo tanto, es un agregado de varias cosas o personas.

La totalidad de los elementos que se poseen una propiedad común que los distingue de otros también se conoce como conjunto

En el ámbito de la matemática, un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica común a todos los elementos).

Subconjunto

En matemáticas, especialmente en teoría de conjuntos, un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B.

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