Numeros Racionales

CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES

Es un número de la forma a/b en donde b es diferente de o y se encuentran ubicados dentro de los números reales.

Enteros -

+

Reales

Racionales

Fraccionarios

Comunes

Decimales

Irracionales

Hay que tomar en cuenta que todos los números enteros tienen como denominador el número uno y por lo tanto son racionales. Por lo anterior se sabe que un número racional cuenta con dos elementos:

Numerador.- Indica cuantas partes se tomaron del entero

Denominador.- Indica en cuantas partes se dividió el entero y es diferente de o

a = Numerador

b = Denominador b  0

Fracciones Equivalentes.-

Son aquellas que tienen diferente forma pero el mismo valor. Para saber si dos fracciones son equivalentes, se aplica la regla del sandwich y el producto de los extremos será igual al producto de los medios.

Extremos Medios

Esta regla nos ayuda a determinar en una pareja cuál de las fracciones es mayor.

Equivalentes

Recta Numérica

Para realizar una serie de números en la recta numérica, es necesario que todos tengan un denominador común; de no ser así, se aplicará el procedimiento de fracciones equivalentes:

2/5 ½ 20/20 6/4 40/20

|

0 5/20 10/20 15/20 1 25/20 30/20 35/20 2

Orden: Creciente 2/5, 1/2, 6/4

Decreciente 6/4, 1/2, 2/5

a

b d

0 10/40 20/40 30/40 1 50/40 60/40 70/40 2

Orden: Creciente bc,a,d

Decreciente d.a.bc

Representación grafica de los números irracionales.

También los números irracionales, las raíces, por ejemplo, se representan en la recta.

Por ejemplo, para calcular el punto que representa el número Ö2 realiza los siguientes pasos:

Levanta sobre la recta un cuadrado cuyo lado sea el segmento unidad entre el 0 y el 1. Según el teorema de Pitágoras, la diagonal del cuadrado mide Ö2.

Utiliza un compás para trasladar esa diagonal sobre la recta. El punto de corte del arco del compás sobre la recta representa el número Ö2.

Fíjate en la siguiente figura

Conjunto de números reales:

Unión:

La unión de dos conjuntos A y B, se denota A È B , es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, además también pertenecen los elementos que estén en A y en B.

Intersección

La intersección de dos conjuntos A y B, se denota AÇ B, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a ambos conjuntos.

En lenguaje matemático:

A Ç B = {x / xÎ A Ù x ÎB}

Inclusión:

Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

Conjuntos básicos:

= D

= C

= = E

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Conjunto vacío, es aquel conjunto que no posee ningún elemento. Se denota como Æ ó { } y su cardinal es cero ; Card (Æ )=0 .

Conjunto unitario, es aquel conjunto que posee un solo elemento, su cardinal es uno.

Importante ...

No hay que confundir los siguientes conjuntos:

A= { 0 } es diferente al conjunto A= { } ó A=Æ , ya que el primero posee un elemento que es el cero , mientras que el segundo no posee ninguno.

Tampoco hay que confundir a A= { } con A= {Æ } ya que el primero no posee ningún elemento mientras que el segundo si posee un elemento, es el vacío.

Simbología que se utiliza en la matemática

Genéricos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

= igualdad

igual a todos

x = y significa: x y y son nombres diferentes que hacen referencia a un mismo objeto o ente.

1 + 2 = 6 − 3

≔

≡

:⇔ definición

se define como todos

x := y o x ≡ y significa: x se define como otro nombre para y (notar, sin embargo, que ≡ puede también significar otras cosas, como congruencia)

P :⇔ Q significa: P se define como lógicamente equivalente a Q

cosh x := (1/2)(exp x + exp (−x)); A XOR B :⇔ (A B) ¬(A B)

Aritmética

Símbolo Nombre se lee como Categoría

+ adición

más aritmética

4 + 6 = 10 significa que si a cuatro se le agrega 6, la suma, o resultado, es 10.

43 + 65 = 108; 2 + 7 = 9

− substracción

menos aritmética

9 − 4 = 5 significa que si 4 es restado de 9, el resultado será 5. El símbolo 'menos' también se utiliza para denotar que un número es negativo. Por ejemplo, 5 + (−3) = 2 significa que si 'cinco' y 'menos tres' son sumados, el resultado es 'dos'.

87 − 36 = 51

×

•

* multiplicación

por aritmética

7 x 6 = 42 significa que si se cuenta siete veces seis, el resultado será 42.

4 x 6 = 24 ó 4 * 6 = 24 ó 4 • 6 = 24

÷

/

: división

entre aritmética

Significa que si se hace seis pedazos uniformes de cuarenta y dos, cada pedazo será de tamaño siete.

24 / 6 = 4

∑ sumatoria

suma sobre ... desde ... hasta ... de aritmética

∑k=1n ak significa: a1 + a2 + ... + an

∑k=14 k² = 1² + 2² + 3² + 4² = 1 + 4 + 9 + 16 = 30

∏ productorio

producto sobre... desde ... hasta ... de aritmética

∏k=1n ak significa: a1a2•••an

∏k=14 (k + 2) = (1 + 2)(2 + 2)(3 + 2)(4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360

Lógica proposicional

Símbolo Nombre se lee como Categoría

⇒

→ implicación material o en un solo sentido

implica; si .. entonces; por lo tanto lógica proposicional

A ⇒ B significa: si A es verdadero entonces B es verdadero también; si B es verdadero entonces nada se dice sobre A.

→ puede significar lo mismo que ⇒, o puede ser usado para denotar funciones, como se indica más abajo.

x = 2 ⇒ x² = 4 es verdadera, pero 4 = x² ⇒ x = 2 es, en general, falso (ya que x podría ser −2)

/ tal que ejemplo x/y se lee x tal que y

⇔

↔ doble implicación

si y sólo si; sii, syss1

lógica proposicional

A ⇔ B significa: A es verdadera si B es verdadera y A es falsa si B es falsa.

x + 5 = y + 2 ⇔ x + 3 = y

∧ conjunción lógica o intersección en una reja

y lógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∧ B es verdadera si A y B son ambas verdaderas; de otra manera es falsa.todo es verdadero de los valores

n < 4 ∧ n > 2 ⇔ n = 3 cuando n es un número natural

∨ disyunción lógica o unión en una reja

o lógica proposicional, teoría de rejas

la proposición A ∨ B es verdadera si A o B (o ambas) son verdaderas; si ambas son falsas, la proposición es falsa.

n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ n ≠ 3 cuando n es un número natural

¬

/ negación lógica

no lógica proposicional

la proposición ¬A es verdadera si y sólo si A es falsa.

una barra colocada sobre otro operador es equivalente a un ¬ colocado a la izquierda.

¬(A ∧ B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B); x ∉ S ⇔ ¬(x ∈ S)

Lógica de predicados

Símbolo Nombre se lee como Categoría

∀ cuantificador universal

para todos; para cualquier; para cada lógica de predicados

∀ x : P(x) significa: P(x) es verdadera para cualquier x

∀ n ∈ N: n² ≥ n

∃ cuantificador existencial

existe por lo menos un/os lógica de predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

∃! cuantificador existencial con marca de unicidad

existe un/os único/s lógica de predicados

∃! x : P(x) significa: existe un único x tal que P(x) es verdadera.

∃! n ∈ N: n + 1 = 2

: reluz tal que lógica de predicados

∃ x : P(x) significa: existe por lo menos un x tal que P(x) es verdadera.

∃ n ∈ N: n + 5 = 2n

Teoría de conjuntos

Símbolo Nombre se lee como Categoría

{ , } delimitadores de conjunto

el conjunto de ... teoría de conjuntos

{a,b,c} significa: el conjunto consistente de a, b, y c

N = {0,1,2,...}

{ : }

{ | } notación constructora de conjuntos el conjunto de los elementos ... tales que ... teoría de conjuntos

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