Un ángulo positivo de 45°

Un ángulo positivo de 45°.

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen o vértice.1 Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.

Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dado, midiendo su tamaño aparente.

Definición y características

Existen básicamente dos formas de definir un ángulo en el plano:

Forma geométrica: Se le llama "ángulo" a la amplitud entre dos líneas de cualquier tipo que concurren en un punto común llamado vértice. Coloquialmente, ángulo es la figura formada por dos líneas con origen común. El ángulo entre dos curvas es el ángulo que forman sus rectas tangentes en el punto de intersección.

Forma trigonométrica: Es la amplitud de rotación o giro que describe un segmento rectilíneo en torno de uno de sus extremos tomado como vértice desde una posición inicial hasta una posición final. Si la rotación es en sentido levógiro (contrario a las manecillas del reloj), el ángulo se considera positivo. Si la rotación es en sentido dextrógiro (conforme a las manecillas del reloj), el ángulo se considera negativo.

Definiciones clásicas

Euclides define un ángulo como la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta. Según Proclo, un ángulo debe ser una calidad o una cantidad, o una relación. El primer concepto fue utilizado por Eudemo de Rodas, que describió un ángulo como desviación de una línea recta; el segundo por Carpo de Antioquía, que lo vio como el intervalo o el espacio entre las líneas que se intersecaban; Euclides adoptó un tercer concepto, aunque sus definiciones de ángulos rectos, agudos, y obtusos son cuantitativas.

Región angular

Se denomina región angular a cada una de las cuatro partes ilimitadas en que queda dividido un plano por dos rectas que se cortan. Estos ángulos se miden de acuerdo a su área similtudinal, es decir lo que mide realmente con Eudemo. Existen realmente diferentes ángulos llamados convexos y cóncavos se les llama así porque varia la medida del ángulo que se relacionan un poco con el ángulo recto, obtuso y sobre todo oblicuo.

Las unidades de medida de ángulos[editar • editar código]

Transportador de ángulos.

Las unidades utilizadas para la medida de los ángulos del plano son:

Radián (usado oficialmente en el Sistema Internacional de Unidades)

Grado centesimal

Grado sexagesimal

Los ángulos se pueden medir mediante utensilios tales como el goniómetro, el cuadrante, el sextante, la ballestina, el transportador de ángulos o semicírculo graduado, etc.

Clasificación de ángulos

Los ángulos, de acuerdo con su amplitud, reciben estas denominaciones:

Las manillas de un reloj conforman distintos tipos de ángulos. En este caso, unángulo agudo.

Tipo Descripción

Ángulo nulo

Es el ángulo formado por dos semirrectas coincidentes, por lo tanto su abertura es nula, o sea de 0°.

Ángulo agudo

Es el ángulo formado por dos semirrectas con amplitud mayor de 0rad y menor de rad.

Es decir, mayor de 0° y menor de 90° (grados sexagesimales), o menor de 100g (grados centesimales).

Ángulo recto

Un ángulo recto es de amplitud igual a rad

Es equivalente a 90° sexagesimales (o 100g centesimales).

Los dos lados de un ángulo recto son perpendiculares entre sí.

La proyección ortogonal de uno sobre otro es un punto, que coincide con el vértice.

Ángulo obtuso

Un ángulo obtuso es aquel cuya amplitud es mayor a rad y menor a rad

Mayor a 90° y menor a 180° sexagesimales (o más de 100g y menos de 200g centesimales).

Ángulo llano, extendido o colineal

El ángulo llano tiene una amplitud de rad

Equivalente a 180° sexagesimales (o 200g centesimales).

Ángulo oblicuo

Ángulo que no es recto ni múltiplo de un ángulo recto.

Los ángulos agudos y obtusos son ángulos oblicuos.

Ángulo completo

o perigonal

Un ángulo completo o perigonal, tiene una amplitud de rad

Equivalente a 360° sexagesimales (o 400g centesimales).

Ángulos convexo y cóncavo[editar • editar código]

En un plano, dos semirrectas (no coincidentes ni alineadas) con un origen común determinan siempre dos ángulos, uno convexo (el de menor amplitud) y otro cóncavo (el de mayor amplitud):1

Tipo Descripción

Ángulo convexo

o saliente

Es el que mide menos de rad.

Equivale a más de 0° y menos de 180°sexagesimales (o más de 0g y menos de 200g centesimales).

Ángulo cóncavo,

reflejo o entrante

Es el que mide más de rad y menos de rad.

Esto es, más de 180° y menos de 360° sexagesimales (o más de 200g y menos de 400g centesimales).

Ángulos relacionados

En función de su posición, se denominan:

ángulos adyacentes, los que tienen un vértice y un lado común, pero no tienen ningún punto interior común,

ángulos consecutivos, los que tienen un lado y el vértice común,

ángulos opuestos por el vértice, aquellos cuyos lados son semirrectas opuestas.

ángulos correspondientes, formados por dos paralelas y una transversal.

En función de su amplitud, se denominan:

ángulos congruentes, aquellos que tienen la misma amplitud, es decir, que miden lo mismo,

ángulos complementarios, aquellos cuya suma de medidas es π/2 radianes o 90°,

ángulos suplementarios, aquellos cuya suma de medidas es π radianes o 180°,

ángulos conjugados, aquellos cuyas medidas suman 2π radianes o 360°.

Ángulos de un polígono[editar • editar código]

En función de su posición, se denominan:

ángulo interior o interno de un polígono, es el formado por lados adyacentes, interiormente.

ángulo exterior o externo de un polígono, es el conformado por un lado y la prolongación del adyacente.

Ángulos respecto de una circunferencia[editar • editar código]

Ángulos en la circunferencia.

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan el mismo arco y por tanto son iguales.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:

Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arco que abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferencia y sus lados la cortan en dos puntos.

La amplitud de un ángulo inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo semi-inscrito, si su vértice está sobre ésta, uno de sus lados la corta y el otro es tangente, siendo el punto de tangencia el propio vértice.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de la del arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de la circunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la suma de dos medidas: la del arco que abarcan sus lados más la del arco que abarcan sus prolongaciones;

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de ésta.

La amplitud de un ángulo, no es la mitad de la diferencia de los dos arcos que abarcan sus lados sobre dicha circunferencia.

Trisección del ángulo

Trisección del ángulo

La trisección del ángulo es un problema clásico que consiste en dividir un ángulo dado en tres partes iguales usando sólo regla y compás. En general, es imposible de resolver con esas condiciones.

Ángulos tridimensionales[editar • editar código]

El ángulo diedro, es cada una de las dos partes del espacio delimitadas por dos semiplanos que parten de una recta común,

El ángulo sólido, es la zona del espacio delimitada por una superficie cónica.

Coordenadas angulares tridimensionales[editar • editar código]

Los ángulos de Euler, son tres coordenadas angulares que indican la orientación de un sistema de referencia de ejes ortogonales, normalmente móvil, respecto a otro fijo.

Ángulos en un espacio vectorial[editar • editar código]

Dado un espacio vectorial, cuyo cuerpo es el conjunto de los números reales y en el que existe un producto escalar entre vectores , se define el ángulo formado por dos vectores no nulos e mediante la expresión:

Si el cociente anterior es 0, se dice que ambos vectores son ortogonales o perpendiculares. El cociente anterior está en el intervalo debido a la Desigualdad de Cauchy-Schwarz, lo que garantiza que siempre puede aplicarse el arcocoseno. Normalmente, se toma la rama del arcocoseno de forma que el ángulo que forman dos vectores siempre está en el intervalo (geométricamente, se elige el menor de los ángulos que forman dos vectores). Las principales propiedades que cumple el ángulo de dos vectores son las siguientes:

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar positivo, el ángulo no cambia.

Si multiplicamos uno de los vectores por un escalar negativo, el ángulo pasa a ser el complementario.

Se cumple el Teorema del coseno, es decir, dados e no nulos,

Galería de ángulos[editar • editar código]

Los ángulos miden la cantidad de giro

Nombres de los ángulos

Según aumenta el ángulo, el nombre va cambiando

Tipos de ángulos Descripción

Ángulo agudo

un ángulo de menos de 90°

Ángulo recto

un ángulo de 90°

Ángulo obtuso

un ángulo de más de 90° pero menos de 180°

Ángulo llano

un ángulo de 180°

Ángulo reflejo o cóncavo

un ángulo de más de 180°

Cuidado con las medidas

Este ángulo es obtuso. Este ángulo es reflejo.

Pero las líneas son las mismas... así que cuando midas y marques ángulos, ¡asegúrate

de que sabes cuál de los ángulos necesitas!

Partes de un ángulo

La esquina de un ángulo se llama vértice

Y los lados rectos son rayos

El ángulo es la cantidad de giro entre los dos rayos.

Marcar ángulos

Hay dos maneras comunes de marcar un ángulo:

1. dándole nombre, normalmente una letra minúscula como a o b, o a veces una letra griega como α (alfa) o θ (theta)

2. o con las tres letras que definen el ángulo, poniendo en medio la letra donde se encuentra (su vértice).

Ejemplo: el ángulo "a" es "BAC", y el ángulo "θ" es "BCD"

...