Unidad 5

UNIDAD 5

7.2 VIBRACION ARMONICA FORZADA AMORTIGUADA

F(t) = F1 sen ωt

La Fig. 7.1 muestra el sistema simple resorte-más del Cap. 4, sometido a una función forzante armónica F1 sen ωt, y un amortiguador viscoso añadido. Como hemos aprendido, el mecanismo de amortiguación viscosa provee una fuerza de amortiguación que es proporcional a la velocidad de la masa. A partir del diagrama de cuerpo libre, la ecuación de movimiento es

-kx- cx+F1 sen ωt= m[pic 1]

m + cx + kx = F1 sen ωt[pic 3][pic 2]

Esta es, otra vez, una ecuación diferencial lineal de segundo orden. Costituye una forma particular de la Ec. 6.2 y la integral debe contener tanto la integral general, que es la Ec 6.4 como una integral particular, que será función de la ecuación de movimiento cuando la fuerza aplicada sea F1 sen ωt

La solución es[pic 4]

X= e ˉ(c/2m)t [A cos ωd t+ B sen ωd t] + C cos ωt + D sen ωt

El primer término es el término homogéneo y es una transitoria que se amortigua con el tiempo. Los términos segundo y tercero son los términos particulares y representan la vibración de estado-estable que se encuentra presente en tanto se halla activa la función forzante. En el Cap, 4, omitimos el término que implicaba la vibración forzada amortiguada, sin explicar por qué era esto permisible, al considerar el estado estable. Ahora podemos ver que ésta se puede apreciar si ct/2m>5

Fig. 7.1

[pic 5]

Sustituyendo la solución de estado estable en la ecuación de movimiento, tenemos

1. [-Cω2 + D  +  C] cos ωt[pic 6][pic 7]

+ [- Dω2 – C  +  D ]sin ωt= sin ωt          (7.3)[pic 8][pic 9][pic 10]

Esta ecuación establece vectorialmente, en forma simple, qupara cualquier armónica dada, la amplitud de la componente coseno vale cero, y la amplitud de la componente seno es F1/M en todo momento. Estas afirmaciones se pueden expresar en dos ecuaciones simultáneas que podemos revolver para las magnitudes de C Y D. Si se hubiera seleccionado la función coseno en lugar de la función seno para la excitación, se habría invertido las ecuaciones.

[pic 11]

El valor negativo de la constante C, indica simplemente que la componente coseno de la amplitud forzada debe estar retrasada con respecto a la componente seno en lugar de adelantársele. Esto se puede demostrar en un diagrama vectorial, Fig. 7.2. Componiendo los vectores C y D en el vector único X, a un ángulo de fase con D, la Ec. 7.2 se vuelve

[pic 12]

[pic 13]

Recordando que X/(F1/K) es la relación de amplitud, en la Fig. 7.3 se muestra la repuesta de un sistema degrado único de libertad viscosamente amortiguado, excitado por la fuerza armónica F1  sen ωt

[pic 14]

 Son inmediatamente evidentes dos características de la respuesta. Una es que la amortiguación disminuye la relación para todas las frecuencias, algo en proporción a la cantidad de amortiguación presente. La reducción de la relación de amplitud en la presencia de amortiguación, es más notable en, o cerca de, la resonancia. La segunda observación es que, con la amortiguación la máxima relación de amplitud ocurre a una frecuencia más baja que la frecuencia de resonancia, ωn = ωn . Podría esperarse que la relación de amplitudes máxima ocurriera en la resonancia con la frecuencia natural amortiguada, ωd, pero esto n sucede. La relación máxima de amplitud ocurre cuando

[pic 15]

La que es más baja que la frecuencia natural, ωd = ωn , en una pequeña cantidad.[pic 16]

Esto puede parecer trivial, pero en las pruebas de resonancia, ciertas veces es conveniente obtener una medida de amortiguación determinando la amplitud de la vibración de la resonancia. Inversamente, si se conoce la cantidad de amortiguación, es fácil hacer un cálculo de la amplitud de la vibración en la resonancia. En ω= ωn,

[pic 17]

VIBRACION ARMONICA FORZADA AMORTIGUADA F(t) sen ωt

[pic 18]

 Esta es una de las más importantes relaciones físicas en las pruebas de vibración. Si se fuera a usar la amplitud máxima de vibración, en lugar de la amplitud en la resonancia, se introduciría un pequeño error ya que éstas no son las mismas, pero el error sería despreciable para amortiguación leve. Este es otro de los puntos académicos asociados con la amortiguación viscosa.

El valor de la relación de amplitud en la resonancia, se denomina también, Ϙ tomando prestado un término de los circuitos de ingeniería eléctrica, lo que nos permite usar un gran número para designar la amortiguación.

El ángulo φ de fase, en el cual la respuesta X se defesa atrasándose  con  respecto  a la función forzante, se define con

[pic 19]

Este es muy pequeño para valores pequeños de ω/ω. Para valores muy grandes de ω/ωn el ángulo de la fase se aproxima a 180°, asimétricamente. Lo anterior significa que la amplitud de vibración se encuentra con la fuerza armónica de excitación para ω/ωn <<1, y fuera de la fase para ω/ωn >>1. En la resonancia, el ángulo de la fase de 90° para todos los valores de amortiguación viscosa. Debajo de la resonancia, el ángulo de la fase aumenta al aumentar la amortiguación. Arriba de la resonancia, el ángulo de la fase disminuye al aumentar la amortiguación. La Fig. 7.3 muestra también la variación de ángulo de fase con la frecuencia y la amortiguación.

...