Variable Compleja

Números complejos

Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario

Ejemplos:

1 + i 12 - 3.1i -0.85 - 2i π + πi √2 + i/2

¿Un número que es una combinación de dos números?

¿Puedes hacer un número combinando a partir de otros dos? ¡Claro que puedes!

Lo haces todo el tiempo en las fracciones. La fracción 3/8 es un número hecho de un 3 y un 8. Sabemos que significa "3 de 8 partes iguales".

Pues bien, un número complejo es simplemente dos números sumados juntos (uno real y uno imaginario).

Cero

Entonces, un número complejo tiene una parte real y una parte imaginaria.

Pero cualquiera de las dos puede ser 0, así que los números reales y los imaginarios son también números complejos.

Número complejo Parte real Parte imaginaria

3 + 2i 3 2

5 5 0

-6i 0 -6

Sumar y multiplicar

Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:

(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d)

Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)

Pero para multiplicarlos seguimos una regla más interesante:

(a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc)

Ejemplo: (3 + 2i)(1 + 7i) = ((3×1 - 2×7) + (3×7 + 2×1)i) = -11 + 23i

Puedes intentarlo tú mismo: escribe (3 + 2i)(1 + 7i) en la calculadora de números complejos.

Y una cosa interesante es que el cuadrado de "i" sí que es -1

Ejemplo: (0 + i)(0 + i) = ((0×0 - 1×1) + (0×1 + 1×0)i) = -1 + 0i

¡Los números imaginarios existen!

Este es un buen argumento sobre la existencia de números imaginarios:

Cuando elevas el número complejo 0+i al cuadrado tienes -1

Actividad desplegable

Lea y complete

esta actividad consta de que contestes la siguiente ecuacion de numeros complejos:

( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i)

Actividad

la respuesta es

( 5 + 2 i) + ( −8 + 3 i) =

= (5 − 8) + (2 + 3)i = −3 + 5i

Actividad de lectura

Multiplicación.- Para multiplicar números complejos se aplica la propiedad distributiva teniendo en cuenta que i 2 = -1.

z . w = (a + bi) . (c + di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

División.- Para dividir dos números complejos se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador. (El conjugado de un número complejo es otro número complejo que tiene la misma parte real y la parte imaginaria cambiada de signo).

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que i2 = −1.

(a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

resuelve la siguiente multiplicacion: (5 + 2i) · (2 − 3i)

resuelve la siguiente division: (3+2i)/(1-2i)

Actividad de lectura

Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .

El conjugado de un número complejo se define como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .

El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.

Es fácil ver que se cumple, , por tanto podemos expresar el inverso de un número en la forma .

En vez de usar coordenadas cartesianas para representar a los puntos del plano podemos usar coordenadas polares, lo que da lugar a la siguiente forma de representación de los números complejos.

Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , y donde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que

, .

NOTA: Un número complejo tiene infinitos argumentos distintos. De hecho se puede definir el argumento de un número complejo no nulo como el conjunto de todos los posibles valores q que verifican lo anterior, es decir,

Es claro, por tanto, que si es un valor particular del argumento de , entonces

Se denomina argumento principal al único valor tal que , y se denota

Se verifica entonces que

.

Dos números complejos y , representados en forma polar son iguales si y sólo si sus módulos son iguales , y sus argumentos se diferencian

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