Variables Complejas

ANALISIS III – VARIABLE COMPLEJA ( HAUSER)

CAPITULO 1

NÚMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición

Un número complejo z es un par ordenado ( a, b) sujeto a reglas y leyes.

El par (a, b) son valores que pertenecen a los reales, y se designa a = Re(z) b = Im (z).

Se satisfacen las siguientes reglas:

 z1= ( a1 , b1) ; z2 = ( a2 , b2 )  z1 + z2 = ( a1 + a2 ; b1 + b2 ) (1.1)

 z1= ( a1 , b1) ; z2 = ( a2 , b2 )  z1 x z2 = ( a1.a2 –b1.b2 ; a1.b2 + a2 . b1) (1.2)

Sean z1, z2 , z3  C, arbitrarios, entonces las reglas del álgebra compleja se deducen inmediatamente de las propiedades de los números reales.

Elemento identidad para la  es (0 , 0 ), el cual tiene las siguientes propiedades:

z + 0 = 0 + z = z ( 1.3)

z.0 = 0.z = 0 ( 1.4)

Elemento identidad para el  es 1+ 0i = ( 1 , 0) , y se cumple que 1 . z = z . 1 = z (1.5)

Además se cumplen: ley conmutativa para la suma, para el producto; ley asociativa para la suma y el producto, ley distributiva de la suma respecto del producto, ley cancelativa para suma y producto, existencia del inverso aditivo y del inverso multiplicativo.

Problema 1.1 Demostrar que el inverso aditivo z* es único.

Suponiendo que existe más de un inverso aditivo z* , z+ entonces:

z+ = 0 + z +

= ( z* +z ) + z+ = z* + ( z + z+ )

= z* + 0  z* = z+

Lo cual contradice la suposición original de que z* ≠ z+

Problema 1.2 Demostrar que 0 no posee inverso multiplicativo

Suponiendo que existe z-1, inverso multiplicativo de 0, entonces 0.z-1 = 1 , pero 0 no es el elemento identidad para la suma de modo que 0 . z-1 = 0, esta contradicción demuestra que z-1, no existe.

Problema 1.3 Demostrar que z-1 de todo complejo ≠ 0, es único.

Suponiendo la existencia de más de un inverso z-1 y z*, entonces:

z-1 = 1 . z-1

= ( z* .z) . z-1 = z*.( z. z-1) = z* . 1

z-1 = z*, por lo tanto el inverso es único.

Forma estándar ( Binómica): z = ( a , b) = a + bi Complejo Conjugado: = a –bi

El producto z . = a2 + b2 , siempre da un número real.

1.2 Representación geométrica

z = x + iy

x = r cos θ

y = r sen θ

Forma Polar z = r ( cos θ + i sen θ )= r. cis θ

r =

r : módulo de z ; θ : argumento de z

Forma de Euler : z = r .eiθ

El complejo z = ( x , y) = x + iy = r. cis θ = r . eiθ , también puede ser considerado como un vector

( posee las mismas propiedades que los vectores de R2).

1.4 Multiplicación y División

Forma binómica

= polar

= Euler

Forma binómica

= polar

= Euler

Teorema

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