VARIABLE COMPLEJA. 5TO SEMESTRE

UNIVERSIDAD JUAREZ DEL ESTADO DE DURANGO[pic 1][pic 2]

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS

MATERIA: VARIABLE COMPLEJA.

5TO SEMESTRE

PROFESOR: NUÑEZ GONZALES MIGUEL ANGEL.

ALUMNO: MARROQUIN TRUJILLO JORGE RICARDO.[pic 3]

SERIES

Existe una forma alternativa importante para definir una función analítica. En ciertos tratamientos de la teoría de funciones complejas, una función f es llamada analítica si, localmente, se representa como una serie de potencias. Si esto puede hacerse, esa serie deberá ser la serie de Taylor de f. Como  en el cálculo de variable real, la serie de Taylor de f con centro en a, es la serie:

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Así, una función analítica es aquella que es infinitamente diferenciable, de modo que se puede escribir su serie de Taylor y la serie resultante converge a la función.

Series convergentes de funciones analíticas

Se usara la formula integral de Cauchy para determinar cuando el límite de una sucesión o de una serie convergente, de funciones analíticas, es una función analítica y cuando la derivada (o integral) del límite es el límite de la derivada (o integral) de los términos de la sucesión de serie. El tipo básico de convergencia que se utilizara en este trabajo es la convergencia uniforme.

        Convergencia de sucesiones y series

                DEFINICION 1: Se dice que una sucesión de números complejos zn converge al número complejo z0 si para todo ε>0, existe un numero N tal que n≥N implica que | zn- z0|< ε. La convergencia de zn  a z0 se denota como zn→ z0. Se dice que una serie infinita k converge a S, y si escribimos k=S, si la sucesión de sumas parciales definidas como sn=k converge a S.[pic 5][pic 6][pic 7]

El limite z0 es único; esto es, una sucesión puede converger a un solo punto z0. Una sucesión zn converge si es una sucesión de Cauchy y, en otras palabras, si, para toda ε>0, existe un N tal que n, m ≥ N implica que | zn- z0|< ε.

                PROPOSICION 1: Si k converge absolutamente, entonces converge.[pic 8]

    Una serie k (z) se llama absolutamente convergente, si la serie de los valores absolutos, k (z)| converge.[pic 9][pic 10]

    Si k (z) converge, pero k (z)| no converge, decimos que k (z) es condicionalmente convergente.[pic 11][pic 12][pic 13]

PROPOSICION 2:

1. Serie geométrica: Si |r|<1, entonces n converge a 1/(1-r), y diverge, si |r|≥1.[pic 14]
2. Criterio de comparación: Si k converge, y 0≤ak≤bk, entonces k converge; si k diverge y 0≤ck≤dk, entonces k diverge.[pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]
3. Criterio de p-series: -p converge si p>1 y diverge a ∞ (esto es, las sumas parciales que crecen sin cota) si p≤1.[pic 19]
4. Criterio de la razón: Suponga que  existe y es estrictamente menor que 1. Entonces n converge absolutamente. Si el límite es estrictamente mayor que 1, la serie diverge; si el límite es igual a uno, el criterio falla.[pic 20][pic 21]
5. Criterio de la raíz: Suponga que  existe y es estrictamente menor que 1. Entonces n converge absolutamente. Si el límite es estrictamente mayor que 1, la serie diverge; si el límite es igual a uno, el criterio falla.[pic 22][pic 23]

CONVERGENCIA UNIFORME

Supóngase que fn: A→ℂ es una sucesión de funciones, todas ellas definidas en el conjunto A. se dice que la sucesión converge puntualmente si, para cada z ϵ A, la sucesión fn (z) converge. El limite define una nueva función f (z) en A. Una clase más importante de convergencia es la llamada convergencia uniforme.

                DEFINICION 2: Una sucesión fn: A→ℂ de funciones definidas en un conjunto A, se dice que converge uniformemente a una función f, si para cada ε>0, existe una N tal que n≥N implica que  | fn (z)-f (z)|< ε para cada z ϵ A. esto se escribe como “fn →f uniformemente en A”.

Se dice que una serie k (z) converge puntualmente, si las correspondientes sumas parciales sn (z)=k (z) converge puntualmente. Se dice que una serie  k (z)  converge uniformemente si sn (z) converge uniformemente.[pic 24][pic 25][pic 26]

Obviamente, la convergencia uniforme implica la convergencia puntual. La diferencia entre ambas es la siguiente:

• Convergencia puntual: Sea ε>0, a la N requerida se le permite variar de punto a punto.
• Convergencia uniforme: Se debe encontrar un N tal que funcione para toda z.

CRITERIO DE CAUCHY

1. Una sucesión fn (z) converge uniformemente en A si para cualquier ε >0, existe un N tal que n≥N implica que | fn (z)- fn+p (z)|< ε para toda z ϵ A y toda p=1, 2, 3,….
2. Una serie k(z) converge uniformemente en A si para toda ε>0, existe una N tal que n≥N implica[pic 27]

  (Para toda z ϵ A y p=1, 2, 3,…).[pic 28]

                PROPOSICION 3: Si las funciones fn son continuas en A, y fn→f uniformemente, entonces f es continua. Similarmente, si las funciones gk (z) son continuas y g (z)=k (z) converge uniformemente en A, entonces g es continua en A.[pic 29]

                        Ejemplos:

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CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS

Una serie de potencias es una serie de forma . (Aquí an y z0 ϵ ℂ son números complejos fijos.) Cada término  es entero y, por tanto, para demostrar que la suma es analítica en una región, podemos usar el teorema de convergencia analítica.[pic 31][pic 32]

TEOREMA DE CONVERGENCIA DE SERIES DE POTENCIAS: Sea  una serie de potencias. Existe un numero R≥0, posiblemente +∞; llamado el radio de convergencia, tal que si |z-z0|0|>R, la serie diverge. Más aun la convergencia es uniforme y absoluta en cualquier disco cerrado en                             . No se puede hacer un enunciado general si |z-z0|=R.[pic 33][pic 34]

Así, en la región  la serie converge y tenemos divergencia en z, si |z-z0|>R. el circulo |z-z0|=R es llamado el circulo de convergencia de la serie de potencias dada.[pic 35]

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LEMA DE ABEL-WEIERSTRASS: Suponga que r0>0 y que  para toda n, donde M es alguna constante. Entonces, para r0,  converge uniformemente y absolutamente en el disco cerrado [pic 37][pic 38][pic 39]

ANALITICIDAD DE LAS SERIES DE POTENCIAS: Una serie de potencias  es una función analítica en el interior de su círculo de convergencia.[pic 40]

DIFERENCIACION DE SERIES DE POTENCIA: Sea f (z)= la función analítica definida en el interior del circulo de convergencia de las series de potencias dada. Entonces f’ (z)=, y esta serie tiene el mismo circulo de convergencia que     . Más aun, los coeficientes  están dados por  .[pic 41][pic 42][pic 43][pic 44][pic 45]

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