GUÍA DE VARIABLE COMPLEJA Y ANÁLISIS DE FOURIER

[pic 1][pic 2]

1. Sean

z1 = 2 − i ,

z2 = −4 + 5i ,

z3 = 3 − 2i y

z4 = −1− 3i . Realice las siguientes operaciones

empleando la representación cartesiana.

[pic 3]

⎡  z z        ⎤

⎡ z z

⎤−1

1. z z  + z

1. (z

• z )(z

• z )

c) Re⎢        1   4    ⎥

[pic 4]

d) ⎢ 2   3 ⎥

1   2        3

1        2        3        4

⎣ z2

+ z3 ⎦

⎣ z1 z4 ⎦

e) Im⎡(1 + 3i)z2 ⎤

[pic 5]

f) Re⎡ z4 ⎤ + i Im[z z ]

[pic 6]

h) z z  + z z

⎢ iz  + 2z  ⎥

⎢ z  ⎥        1  2

1   2        3   4

⎣        3        1  ⎦        ⎣ 3 ⎦

1. Calcule las siguientes operaciones.[pic 7][pic 8]

a) 𝑖2015        b) 𝑖1000000        c) (𝑖85 + 𝑖−28)(𝑖64 + 𝑖−37)        d) 𝑖117+𝑖−73[pic 9][pic 10]

𝑖    −𝑖

[pic 11]

3. a) Si 𝑧 = − 1 + √5 𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧2 = 0        y        1 = 𝑧2.

2        2        𝑧[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15]

b) Para 𝑧 = − 1 + √3 𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧2 = 𝑧̅, 𝑧3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧3002.

2        2[pic 16][pic 17]

1. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖) sea:

1. un imaginario puro        b) un real

1. Determine el valor de 𝑥:[pic 18][pic 19]

1. para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que  2√5 + √5𝑖.
2. para que 𝑥+2+𝑥𝑖 sea imaginario puro.[pic 20]

𝑥+𝑖

1. Si 𝑧 = 1+𝑥𝑖 pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.[pic 21]

𝑥+𝑖

1. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es un número imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.

1. Pruebe que para todo número complejo 𝑧 se cumple.

a) 𝑅𝑒(𝑖𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧)        b) 𝐼𝑚(𝑖𝑧) = −𝑅𝑒(𝑧)

1. Sean 𝑧, 𝑤 dos números complejos cualesquiera. Pruebe que se cumple:

a) |1 − 𝑧𝑤̅|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 − |𝑧|2)(1 − |𝑤|2)        b) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2)

1. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.

a) (3 + 2i)z + (−2 + i) = 4 − i        b) (−1+ 2i)z + (3 + i) = (6 − 5i) − (2 + i)z

c) [(4 + 3i)z + (2 − 5i)]+ [(1− 2i)z − (6 − i)] = 0

d)        (7 − 3i)z + (2 − 5i) = 1 − 2i (4 + i)z − (8 + 3i)

1. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en la forma cartesiana.[pic 22]

Sean

a = −3 + 2i,

b = −1− 3i,

az

z = 6 − 5i,

⎡ w3 ⎤ −1

w = 7 + i .

w4 z 3

a 4 w2

1. a5b4        b)

[pic 23]

c) ⎢        ⎥        d)        e)

[pic 24]        [pic 25]        [pic 26]

bw        ⎣ z 4 ⎦

a 5b 4

b3 z 4

1. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos 𝜋 y la suma de[pic 27]

3

sus módulos sea 8.

1. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1,[pic 28]

2

encuentre dichos números.

1. Emplee el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.

1. cos 3θ = cos3 θ − 3sen2 θ cosθ

sen 3θ = 3cos2 θ senθ − sen3 θ

1. cos 4θ = cos4 θ − 6cos2 θ sen2 θ + sen4 θ

sen 4θ = 4cos3 θ senθ − 4sen3 θ cosθ

1. Si sen 𝜃 = 1 , 0 < 𝜃 < 𝜋, aplique los resultados del ejercicio 14 para hallar los valores de:[pic 29][pic 30]

2        2

a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃        b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃

1. Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula

1 + z + z 2

• z 3

++ z n

1 − z n+1

1 − z        .[pic 31][pic 32]

1. Aplique la fórmula del ejercicio 16 y el teorema de De Moivre para probar que:

1 + cosθ + cos 2θ + cos 3θ ++ cos nθ =[pic 33]

...