Variación, permutación y combinaciones

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Variación:  En combinatoria, cada tupla que se puede formar usando elementos en un conjunto se llama variante. En la combinatoria de conjuntos finitos, normalmente es necesario conocer el número de variantes de un conjunto de m elementos utilizados en una tupla de n elementos (con o sin elementos repetidos en la tupla). La variación del conjunto de m elementos repetidos en una tupla de n elementos es el numero de n-tuplas diferentes de un conjunto de m elementos, y el resultado es:

VR nm :mn

Entonces en numeración decimal las variaciones con repetición del conjunto de símbolos decimales (dígitos del 0 al 9), tomando 3 nos da 1,000 variaciones:

VR: 310 =103= {000,001,002…,010,011,012,…999}

Si no se admiten elementos repetidos, entonces el número de n-tuplas en que ninguno de los elementos se repiten se llama número de variaciones sin repetición.  El resultado de este número es:

Vnm =  m!

          (m-n)!

Nótese que las permutaciones son variaciones sin repetición del total de elementos del conjunto o sea donde m = n, por lo que cada variación sin repetición del conjunto, es una permutación del conjunto original.

Combinación: La definición de combinación no permite el cálculo del valor del coeficiente binomial a menos que se enumere y se cuente un subconjunto. Sin embargo, existe una fórmula clara que nos puede proporcionar el valor de C (n, k).

Suponiendo que el conjunto original tiene cinco elementos, se deben seleccionar tres de ellos. Cuando elige la primera, hay cinco opciones disponibles, pero una vez que se fija la primera, solo hay cuatro opciones para la segunda, por lo que la última tiene solo tres opciones (porque no puede repetir las que seleccionó en el primeros dos pasos). Por lo tanto, se puede seleccionar de 5 × 4 × 3 = 60 formas.

Sin embargo, en tal recuento, el orden de selección de elementos será diferente. Por ejemplo, tomar C, luego B, luego E, y tomar B, luego C, luego E son opciones diferentes. Pero en la definición de coeficientes binomiales, el orden de selección de los objetos no importa. Por lo tanto, las elecciones del BCE, BEC, CEB, CBE, ECB y EBC son todas equivalentes. Del mismo modo, para tres letras cualesquiera, las opciones ABC, ACB, BCA, BAC, CAB y CBA son equivalentes, y así sucesivamente.

De esta forma, el resultado obtenido (60) no es la cantidad de subconjuntos de 3 elementos de {A, B, C, D, E}, sino que cada subconjunto está contado seis veces, por lo que la cantidad de subconjuntos es realmente 60/6 = 10

Permutación: es la disposición de todos los elementos en un orden determinado. Aquí si importa el orden. Por ejemplo, si quiero saber cuántos resultados posibles puede tener una carrera en la que participan 4 caballos, tengo que ordenar a todos los elementos, es decir, a los 4 caballos, como no es lo mismo salir primero que segundo en la carrera, aquí si importa el orden, y se necesita ordenar a todos los elementos, por ello, se trata de una permutación de 4 elementos.

En otras palabras, La permutación es una técnica de conteo que permite calcular el posible orden de un conjunto de elementos o el número de elementos en el espacio muestral de un experimento aleatorio. En esta técnica de conteo, se considera que hay orden en la muestra, pero es imposible repetir cualquier elemento de la población en su conformación.

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