Permutacion Y Combinacion

FUNDAMENTOS DEPROBABILIDAD

2.1. Conjuntos y técnicas de conteo.

principio multiplicativo

Uno de los problemas que se debe de considerar e intentar evaluar es el elemento de la posibilidad asociado con la ocurrencia de ciertos eventos cuando se lleva a cabo un experimento. En muchos casos debemos de ser capaces de resolver un problema de probabilidad mediante el conteo del número de puntos en el espacio muestral sin listar realmente cada elemento. El principio fundamental del conteo a menudo denominado Regla de multiplicación se establece como sigue: Teorema 1

“Si una operación se puede llevar a cabo de n_1 formas, y si para cada una de estas se puede realizar una segunda operación en n_2 formas, entonces las dos operaciones se pueden ejecutar de n_1 n_2 formas”

Ejemplo: ¿Cuantos puntos muéstrales hay en el espacio muestral cuando se lanza una vez un par de dados?

Solucion: El primer dado puede caer en cualquiera de n_1= 6 maneras. Para cada una de esas 6 maneras el segundo dado también puede caer n_2= 6 formas. Por lo tanto, el par de dados puede caer en:

n_1 n_2=(6)(6)=36 formas posibles.

El espacio muestral (o también llamado espacio muestra) de un experimento aleatorio es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento, y se le denota generalmente por la letra griega Ω (omega)

Ejemplo: Un urbanista de una nueva subdivisión ofrece a los futuros compradores de una casa la elección del estilo de la fachada entre Tudor, Rustica, colonial y Tradicional en una planta, dos pisos y desniveles. ¿En cuántas formas diferentes puede ordenar un comprador una de estas casas?

Solucion: como n_1=4 y n_2=3 un comprador debe elegir entre

n_1 n_2= (4)(3)=12 casas posibles

La regla de multiplicación del teorema anterior se puede extender para cubrir cualquier número de operaciones. Suponga, por ejemplo, que un cliente desea instalar un teléfono Trimline y puede elegir entre 10 colores decorativos, 3 longitudes de cordón y 2 tipos de marcado estas tres clasificaciones tiene como resultado:

n_1=10,n_2=3 n_3=2----------n_1 n_2 n_3=(10)(3)(2)=60 formas que un cliente puede ordenar su teléfono

La regla de multiplicación generalizada que cubre K operaciones se formula como sigue:

Si una operación de puede ejecutar en n_1 formas, y si para cada una de estas se puede llevar a cabo una segunda operación en n_2 formas, y para cada una de las primeras dos se puede realizar una tercera operación en n_3 formas, y asi sucesivamente, entonces la serie de k operacionas de puede realizar en formas n_1 n_2 n_3……..n_k

¿Cuántos almuerzos que consisten en una sopa, emparedado, postre y una bebida son posibles si podemos seleccionar 4 sopas, 3 tipos de emparedado, 5 postres y 4 bebidas?

Como: n_1=4,n_2=3 n_3=5 n_4=4 4x3x5x4=240

Notacion factorial

Uno de los principales conocimientos que nos servirán como base para el cálculo de las técnicas de conteo (permutaciones y combinaciones), es el factorial de un número. Su definición y algunos ejemplos se comentan enseguida.

El producto de cualquier número entero positivo n por todos los enteros menores que n se llama FACTORIAL de n y se expresa con el símbolo n!, por lo tanto:

En tu calculadora científica pon 6 y oprime la tecla n! y te arrojará 720, que es el factorial de 6.

Permutaciones

Para pronosticar el triunfador de una elección municipal necesitamos al menos conocer quiénes son los candidatos de los distintos partidos políticos, así como para pronosticar si la selección mexicana de fútbol ganará un partido, es necesario saber si en caso de empate el partido se decidirá en tiempos extras o por medio de penales. En general, NO ES POSIBLE HACER PREDICCIONES RAZONABLES A MENOS DE QUE CONOZCAMOS LO QUE ES POSIBLE, es decir, es necesario conocer LO QUE ES POSIBLE antes de juzgar LO QUE ES PROBABLE. Por lo tanto estudiaremos someramente cómo determinar en algunos casos lo que es posible.

En el estudio de “lo que es posible” hay esencialmente dos tipos de problemas. Existe el problema de hacer una lista de todo lo que puede suceder en una situación determinada y se tiene el problema de determinar cuántas cosas diferentes pueden suceder. El segundo tipo de problema es de especial importancia porque hay muchas situaciones en que no necesitamos una lista completa y por tanto, podemos ahorrarnos una gran cantidad de trabajo.

Si estamos eligiendo de un conjunto de objetos, algunos de ellos en un orden o jerarquía determinada estamos haciendo una permutación, esto es, si al seleccionar o acomodar (r) objetos de un conjunto de (n) objetos distintos, cualquier arreglo (u orden) de estos objetos se conoce como, una permutación.

En cada arreglo pueden participar parte o la totalidad de los elementos del conjunto. Permutaciones tomando sólo “parte de los elementos” del conjunto a la vez

“El número de permutaciones de n objetos distintos es n!”

El numero de permutaciones de las cuatro letras a,b,c,d será 4! =24

Consideremos ahora el número de permutaciones que son posibles al tomar solamente dos letras a la vez de esas cuatro. Estas serian ab,ac,ad,ba,ca,da,bc,cb,bd,db,cd,dc. De nuevo con el uso del teorema 1, tenemos dos posiciones para llenar con n_1=4 elecciones para la primera y después n_2=3 elecciones para la segunda para un total de:

n_1 n_2=(4)(3)=12 formas Como resultado tenemos el teorema que sigue:

“El numero de permutaciones de n objetos distintos tomados de r a la vez es:”

En donde,

P(n,r) = nPr es el número de permutaciones de n objetos tomado r a la vez.

...