Vectores.

Derivación de funciones vectoriales y sus propiedades

El cálculo aplicado a las funciones Cartesianas puede ser extendido también para ser aplicable a las funciones vectoriales. Como ya sabemos una función vectorial, es en realidad, una función compuesta de varias funciones constituyentes. Cada una de estas funciones constituyentes es una función independiente que determina el efecto del cambio de variable en su dirección correspondiente, y el efecto general del cambio de variable puede ser conocido a través de la función compuesta, esta es la función vectorial.

Puesto que una función vectorial es una función compuesta, esta no puede ser diferenciada directamente, en lugar de diferenciarla, necesitamos diferenciar cada una de sus funciones constituyentes por separado. Las técnicas utilizadas para integrar una función Cartesiana se pueden aplicar para diferenciar una función vectorial debido a que las funciones constitutivas de la misma son funciones valoradas reales.

Asuma que es la función vectorial que será diferenciada para obtener dr/dt o . Aquí la diferenciación se lleva a cabo con respecto al tiempo ‘t’ porque una función valorada vectorial se define con respecto a la variable tiempo.Entonces la derivada de esta función se denota como,

lim = [ (t + h) - (t)]/ h

Los conceptos del cálculo Cartesiano son aplicables aquí también, lo que significa que esta derivada de la función vectorial representaría la tangente a la curva de la función dada en algún punto.

Hay ciertas cosas que deben tenerse en cuenta mientras se diferencia la función: 1. (t) es real en el tiempo t sólo existe una derivada de en ‘t’.

2. Para un intervalo abierto (a, b) si el valor de (t) existe en cada punto, entonces podemos decir que la función dada es diferenciable para ese intervalo.

Al considerar los límites de un lado esta diferenciación se puede extender también al intervalo cerrado.

Ahora diferenciemos una función valorada vectorial.

(t) = t cos (t), −2 sin (t)>

f(t) = t cos (t) g(t) = −2 sin (t) d(f(t))/ dt = cos (t) – t sin (t) d(g(t))/ dt = −2 cos (t) (t) = < cos (t) – t sin (t), −2 cos (t)

Existen ciertas propiedades de la derivada de una función vectorial. Algunas de ellas se analizan a continuación.

Asuma que que y y son dos funciones vectoriales cuya derivada se puede determinar en el instante de tiempo ‘t’. También que es una función valorada real que puede ser diferenciada en el instante de tiempo ‘t’, y que s es una cantidad escalar.Entonces,

1. La diferenciación del producto de una cantidad escalar con una función vectorial es producto de esa cantidad escalar con la derivada de la función vectorial.

2. La diferenciación de la suma de dos funciones vectoriales valor es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones vectoriales.

Esta regla también es aplicable a la diferencia de dos funciones valoradas vectoriales.

3. La diferenciación del producto de una función vectorial y una función valorada real es igual a la suma del producto de la función real con la derivada de la función vectorial y la derivada de la función real con la función vectorial.

Integración de funciones vectoriales

Una función vectorial es una función definida en términos de la variable tiempo. El rango de esta función es multidimensional dado que la función está constituida por diversos componentes, donde cada uno de los componentes varía con respecto al tiempo en una de las direcciones. Por lo tanto, de manera informal una función vectorial puede denotarse como,

Aquí, cada una de las funciones individuales es una función vectorial de variable real en sí misma. Por lo tanto, el conjunto de funciones (p (t), q (t), r (t)) es una asignación de un intervalo cerrado en Rk, la cual es de rango dimensional k para la función dada. Las dimensiones de entrada y salida de una función vectorial son iguales, las cuales son un vector con alguna forma determinada.

La integración de la función se lleva a cabo mediante la integración de cada uno de los componentes individuales de la función. Por lo tanto la integración de la función vectorial se valora,

Aquí la integración se hace con respecto a ‘t’, la cual es la variable.

Asimismo la integración definida de la función también puede hacerse de la misma manera que una función ordinaria. Para quela integración definida sea llevada a cabo, los componentes completos de la función, y por lo tanto la función misma debe ser real en un intervalo cerrado [a, b]. Si el valor de ‘t’ está incrementandose monótonamente en el intervalo dado o podemos decir que, fi R(t) para

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