Velocidad De Escape

VELOCIDAD DE ESCAPE

En su novela De la Tierra a la Luna (1865) Julio Verne formuló la pregunta de la velocidad inicial necesaria para que un proyectil disparado desde la superficie de la Tierra alcance la Luna. De manera análoga, podemos preguntar cuál es la velocidad inicial necesaria para que le proyectil escape totalmente de la Tierra. Esto será así si su velocidad permanece positiva para toda , por lo que continúa por siempre alejándose de la Tierra. Con denotando la distancia del proyectil al centro de la Tierra en el instante .

Entonces, ¿qué velocidad se requiere para escapar de la atracción terrestre? Vivimos en una época en la que los viajes al espacio ya no son una ilusión sino una realidad, y es evidente que para realizar un viaje así es fundamental responder a la pregunta formulada. Pues bien, el planteamiento y análisis de una ED de segundo orden nos dará una respuesta satisfactoria a nuestra pregunta, como veremos a continuación.

Ejemplo:

Determinar la velocidad de escape de un cuerpo de masa m, es decir, hallar la minima velocidad con la cual podamos asegurar que un cuerpo, una vez que la alcance, no regresara a la superficie de la Tierra.

De lo tratado en la introducción, necesitamos una ley que nos permita determinar la atracción gravitatoria entre dos cuerpos; esta ley existe por supuesto y se conoce como la ley de Gravitación Universal de Newton la cual establece que, en magnitud, la fuerza de atracción entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros de gravedad. En símbolos, si representa la masa del cuerpo, la masa de la Tierra y la distancia entre sus centros de gravedad, entonces, en magnitud, la fuerza de atracción entre y es:

donde la representa la constante de gravitación universal cuyo valor es ; esta constante fue hallada por Cavendish .

Ahora bien, por la segunda ley de Newton, la ecuación anterior puede escribirse como

donde el signo negativo indica que la fuerza es de atracción y no de repulsión. Esta última expresión es una ecuación diferencial de segundo orden.

La condición inicial del problema exige que donde representa el radio de la Tierra. Observemos que la masa del cuerpo se elimina en ambos miembros de la anterior ecuación, de donde se deduce inmediatamente que la velocidad de escape de la Tierra es la misma para cualquier cuerpo.

Existen varias técnicas para resolver ecuaciones como la anterior; en esta sección veremos la que corresponde al método de reducción de orden, éste consiste en grandes rasgos en un cambio de variable que reduce la ED a una de orden inferior. En nuestro caso, introducimos un cambio que parece muy natural, a saber: , donde representa la velocidad instantánea del cuerpo en cuestión.

Así, resolvemos el problema de valor inicial.

La ultima ecuación diferencial entraña dos dificultades.

1.- Aparecen tres variables: y .

2.- Puesto que la variable dependiente es , la condición inicial es que es la velocidad de escape.

Se considera que al tiempo se obtiene la velocidad de escape y que ésta se alcanza a ras de la superficie terrestre.

Para resolver la primera dificultad, usamos la regla de la Cadena, la cual en la notación de Leibniz establece que

Así, nuestro problema

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