Cálculo Avanzado
Enviado por Julianamagali • 8 de Noviembre de 2023 • Trabajos • 307 Palabras (2 Páginas) • 15 Visitas
Cálculo Avanzado
Actividad N° 5 - Unidad IV
- Calcular el flujo del campo través de la frontera del sólido limitado por y , con dirección normal exterior.[pic 1][pic 2][pic 3]
Al tratarse de un cono limitado por el plano z=3, es una superficie cerrada, con dirección exterior. Además el campo vectorial posee funciones componentes las cuales sus derivadas parciales son continuas en la región sólida. Teniendo en cuenta todo eso, podemos utilizar el Teorema de Gauss, o de la divergencia, para poder calcular el flujo del campo a través del sólido antes mencionado.
[pic 4]
La gráfica del sólido limitado por el plano z=3 es el siguiente:
[pic 5]
En color naranja se puede observar la proyección del sólido en el plano xy que sería la representación de una circunferencia de ecuación:
[pic 6]
[pic 7]
Primero procederé a calcular la divergencia del campo vectorial:
[pic 8]
Haré un cambio de coordenadas a cilíndricas para que el proceso de integración sea más eficaz, en donde:
[pic 9]
[pic 10]
[pic 11]
Reemplazando en la ecuación del cono obtengo:
[pic 12]
[pic 13]
[pic 14]
Como podemos observar en la gráfica los valores de z comenzarán en el cono y terminarán en z=3, de forma coloquial se podría decir que la base representa el cono y el “techo” de la superficie cerrada sería el plano z=3.
[pic 15]
En la proyección del sólido dijimos que se observa una circunferencia de radio , y habiendo hecho el cambio de coordenadas obtenemos que los límites de las variables y serían los siguientes:[pic 16][pic 17][pic 18]
[pic 19]
Por lo tanto la integral triple sería la siguiente:
(Recordemos que debemos multiplicar el integrando por el jacobiano).
[pic 20]
=[pic 21][pic 22][pic 23]
[pic 24]
El flujo del campo vectorial través de la superficie cerrada es igual a , esto representaría la cantidad neta de campo vectorial que salen a través de la superficie. Como obtuve un valor positivo del flujo, esto indicaría que existe una fuente del campo F dentro de la superficie cerrada. (Flujo saliente es mayor al flujo entrante).[pic 25][pic 26]
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