Calculo Avanzado

Contenido

1 La construcci´on de los N´umeros Reales 5

1.1 Los N´umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Los n´umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Operaciones con cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Sucesiones 17

2.1 Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3 Series 25

3.1 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4 La topolog´ıa de la recta real 35

4.1 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Funciones continuas 45

5.1 Propiedades de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.2 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.3 L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6 La integral de Riemann 55

6.1 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2 El Teorema del valor medio (para integrales) . . . . . . . . . . . 64

7 La Derivada 65

7.1 Propiedades b´asicas de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

7.2 El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

7.3 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3

4 CONTENIDO

8 La antiderivada y la integral de Riemann 81

8.1 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

8.2 Curvas rectificables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

8.3 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.4 Una aplicacion del Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 94

9 Sucesiones y series de funciones 97

9.1 Series de Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9.2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.3 Las Series de Taylor y de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . 114

9.4 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Cap´ıtulo 1

La construcci´on de los

N´umeros Reales

Nuestro objetivo en este capitulo es una definici´on formal del conjunto de los

n´umeros reales, empezando con el conjunto de los enteros.

1.1 Los N´umeros Enteros

Se denota por Z, el conjunto de los enteros.

Z = {. . . , −n, −n + 1, . . . , −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . }

con las operaciones binarias (+) y (·), que representan la adici´on y la multiplicaci´on,

respectivamente. En lo que sigue, si m, n ∈ Z, escribiremos mn en vez

de m · n.

El conjunto Z es un grupo bajo la operaci´on de adici´on, lo que significa que

1) Si m, n ∈ Z, entonces m + n ∈ Z,

2) Existe una identidad, ı ∈ Z tal que ı + n = n para cada n ∈ Z (ı = 0),

3) Para cada n ∈ Z existe un elemento −n ∈ Z tal que n + (−n) = ı (el

elemento −n se llama el inverso aditivo de n), y

4) La operaci´on de adici´on es asociativa, es decir, k + (m+n) = (k +m) +n.

Pregunta: ¿Es Z un grupo bajo la operaci´on de multiplicaci´on?

Asumiremos que los enteros ya estan definidos. (En el curso de La Teor´ıa

de Conjuntos se definir´a formalmente el conjunto de los enteros.)

El conjunto P de los elementos positivos de Z se define por:

PZ = {1, 2, 3, . . . , n, . . . }

y en base a esta definici´on de los positivos se puede definir un orden, < en Z

por

m < n ⇔ n − m = n + (−m) ∈ PZ.

5

6 CAP´ITULO 1. LA CONSTRUCCION DE LOS N ´ UMEROS REALES ´

Formalmente, un orden (no estricto) ≤ en un conjunto X es una relaci´on en X

(es decir, un subconjunto de X × X) que satisface las siguientes condiciones:

1) (x ≤ y y y ≤ z) ⇒ x ≤ z (transitividad),

2) Para cada x, x ≤ x (reflexividad),

3) Para cada x, y ∈ X,(x ≤ y y y ≤ x) ⇒ x = y (antisimetr´ıa).

A partir de un orden no estricto se puede definir un orden estricto <, como

sigue:

a < b ⇔ a ≤ b pero a 6= b.

Un orden estricto es transitivo (pero no reflexivo ni antisim´etrico).

Un orden ≤ en X es un orden total (o un orden lineal) si para cada a, b ∈ X,

tenemos a ≤ b o b ≤ a. El orden en Z es un orden total.

1.2 Los n´umeros racionales

Se define formalmente el conjunto Q por

Q = {(m, n) : m, n ∈ Z y n 6= 0}

donde se identifican las parejas ordenadas (m, n) y (p, q) si mq = np. En

notaci´on matem´atica, escribimos (m, n) ∼ (p, q) ⇔ mq = np y entonces se

puede escribir

Q = {(m, n) : m, n ∈ Z y n 6= 0}/ ∼

lo que en palabras significa que Q consiste en un cierto subconjunto de las

parejas ordenadas de Z con la identificaci´on ∼.

Cuando escribimos un n´umero racional, normalmente usamos la notaci´on p

q

en vez de (p, q). As´ı es que la identificaci´on de (m, n) con (p, q) si mq = np es

simplemente la identificaci´on de dos quebrados iguales.

Por ejemplo:

Se identifica (2, 3) con (4, 6) pues 2 · 6 = 3 · 4 y obviamente 2

3

=

4

6

.

El conjunto Q tiene dos operaciones, las de adici´on y multiplicaci´on, denotadas

por + y · las cuales se definen por:

(m, n) + (p, q) = (mq + np, nq)

y

(m, n) · (p, q) = (mp, nq).

Tarea: Verificar que estas definiciones coinciden con las operaciones de adici´on

y multiplicaci´on de los quebrados.

1.2. LOS NUMEROS RACIONALES ´ 7

Se define el subconjunto de positivos PQ de Q por:

PQ = {(m, n) : mn ∈ PZ},

y un orden en Q por

(m, n) < (p, q) ⇔ (p, q) + (−m, n) ∈ PQ.

Lema 1.2.1. Entre cualquier par de racionales distintos, hay otro n´umero

racional; es decir, si (m, n),(p, q) ∈ Q y (m, n) < (p, q), entonces existe

(r, s) ∈ Q tal que (m, n) < (r, s) < (p, q).

Demostraci´on: Sea (r, s) = (m, 2n) + (p, 2q); demostraremos que (r, s) es el

n´umero racional deseado. Para demostrar que (m, n) < (r, s), debemos probar

que (r, s) − (m, n) = (r, s) + (−m, n) ∈ PQ.

Tenemos que

(m, 2n) + (p, 2q) = (2qm + 2np, 4nq) ∼ (qm + np, 2nq).

Por lo tanto,

(m, 2n) + (p, 2q) + (−m, n) = (qm + np, 2nq) + (−m, n)

= (qmn + n

2

p + 2(−m)nq, 2n

2

q)

= (n

2

p − qmn, 2n

2

q) ∼ (np − qm, 2nq)

y debemos demostrar que este n´umero racional es un elemento de PQ.

Pero (m, n) < (p, q) y por lo tanto (p, q) + (−m, n) ∈ PQ. Es decir, (pn −

qm, qn) ∈ PQ, lo cual por definici´on quiere decir que (pn − qm)qn ∈ PZ.

Por lo tanto, (pn − qm)2nq ∈ PZ, lo cual implica que (pn − qm, 2qn) ∈ PQ, es

decir, (m, n) < (r, s).

Un argumento semejante demuestra que (r, s) < (p, q), as´ı terminamos la

demostraci´on.

Tarea: Demostrar que (r, s) < (p, q).

Corolario 1.2.2. Entre dos n´umeros racionales distintos hay un n´umero in-

finito de n´umeros racionales.

Demostraci´on: Tarea.

8 CAP´ITULO 1. LA CONSTRUCCION DE LOS N ´ UMEROS REALES ´

1.3 Cotas

Definici´on 1.3.1. Se dice que A ⊆ Q es acotado superiormente (respectivamente,

acotado inferiormente) si existe (p, q) ∈ Q tal que (a, b) ≤ (p, q)

(respectivamente (p, q) ≤ (a, b)) para cada (a, b) ∈ A.

Un subconjunto de Q es acotado si es acotado superior e inferiormente.

Si (p, q) ≥ (a, b) para cada (a, b) ∈ A, entonces se dice que (p, q) es una cota

superior de A.

Si (p, q) ≤ (a, b) para cada (a, b) ∈ A, entonces se dice que (p, q) es una cota

inferior de A.

Definici´on 1.3.2. Sea A ⊆ Q un subconjunto acotado superiormente; se dice

que (p, q) es el supremo de A (escrito sup(A)) si

a) (p, q) es una cota superior de A, y

b) Si (r, s) es una cota superior de A entonces (p, q) ≤ (r, s).

En otras palabras, el supremo de A (si existe) es la cota superior m´as peque˜na.

Si p = sup(A) ∈ A, decimos que p es el elemento m´aximo de A.

Definici´on 1.3.3. Sea A ⊆ Q un subconjunto acotado inferiormente; se dice

que (p, q) es el ´ınfimo de A (escrito inf(A)) si

a) (p, q) es una cota inferior de A, y

b) Si (r, s) es una cota inferior de A entonces (p, q) ≥ (r, s).

En otras palabras, el ´ınfimo de A (si existe) es la cota inferior m´as grande. Si

p = inf(A) ∈ A, decimos que p es el elemento m´ınimo de A.

Ejemplo 1.3.4. 0 es el supremo (en Q) de los conjuntos {x ∈ Q : x < 0}

y {x ∈ Q : x ≤ 0}; 0 es el elemento m´aximo de {x ∈ Q : x ≤ 0}, pero

{x ∈ Q : x < 0} no tiene elemento m´aximo.

En lo sucesivo usaremos p, q, r, s, etc. para denotar

n´umeros racionales.

Ahora vamos

...