Calculo Avanzado
Enviado por bayruz • 21 de Mayo de 2015 • 4.762 Palabras (20 Páginas) • 227 Visitas
Contenido
1 La construcci´on de los N´umeros Reales 5
1.1 Los N´umeros Enteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Los n´umeros racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Cotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Cortaduras de Dedekind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5 Operaciones con cortaduras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Sucesiones 17
2.1 Operaciones con sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Subsucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Series 25
3.1 Convergencia absoluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4 La topolog´ıa de la recta real 35
4.1 Compacidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2 Conexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 Funciones continuas 45
5.1 Propiedades de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.2 Continuidad Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5.3 L´ımites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
6 La integral de Riemann 55
6.1 La integral indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
6.2 El Teorema del valor medio (para integrales) . . . . . . . . . . . 64
7 La Derivada 65
7.1 Propiedades b´asicas de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
7.2 El Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
7.3 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3
4 CONTENIDO
8 La antiderivada y la integral de Riemann 81
8.1 Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8.2 Curvas rectificables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8.3 El Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.4 Una aplicacion del Teorema de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . 94
9 Sucesiones y series de funciones 97
9.1 Series de Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.3 Las Series de Taylor y de Maclaurin . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.4 Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Cap´ıtulo 1
La construcci´on de los
N´umeros Reales
Nuestro objetivo en este capitulo es una definici´on formal del conjunto de los
n´umeros reales, empezando con el conjunto de los enteros.
1.1 Los N´umeros Enteros
Se denota por Z, el conjunto de los enteros.
Z = {. . . , −n, −n + 1, . . . , −1, 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . . }
con las operaciones binarias (+) y (·), que representan la adici´on y la multiplicaci´on,
respectivamente. En lo que sigue, si m, n ∈ Z, escribiremos mn en vez
de m · n.
El conjunto Z es un grupo bajo la operaci´on de adici´on, lo que significa que
1) Si m, n ∈ Z, entonces m + n ∈ Z,
2) Existe una identidad, ı ∈ Z tal que ı + n = n para cada n ∈ Z (ı = 0),
3) Para cada n ∈ Z existe un elemento −n ∈ Z tal que n + (−n) = ı (el
elemento −n se llama el inverso aditivo de n), y
4) La operaci´on de adici´on es asociativa, es decir, k + (m+n) = (k +m) +n.
Pregunta: ¿Es Z un grupo bajo la operaci´on de multiplicaci´on?
Asumiremos que los enteros ya estan definidos. (En el curso de La Teor´ıa
de Conjuntos se definir´a formalmente el conjunto de los enteros.)
El conjunto P de los elementos positivos de Z se define por:
PZ = {1, 2, 3, . . . , n, . . . }
y en base a esta definici´on de los positivos se puede definir un orden, < en Z
por
m < n ⇔ n − m = n + (−m) ∈ PZ.
5
6 CAP´ITULO 1. LA CONSTRUCCION DE LOS N ´ UMEROS REALES ´
Formalmente, un orden (no estricto) ≤ en un conjunto X es una relaci´on en X
(es decir, un subconjunto de X × X) que satisface las siguientes condiciones:
1) (x ≤ y y y ≤ z) ⇒ x ≤ z (transitividad),
2) Para cada x, x ≤ x (reflexividad),
3) Para cada x, y ∈ X,(x ≤ y y y ≤ x) ⇒ x = y (antisimetr´ıa).
A partir de un orden no estricto se puede definir un orden estricto <, como
sigue:
a < b ⇔ a ≤ b pero a 6= b.
Un orden estricto es transitivo (pero no reflexivo ni antisim´etrico).
Un
...